La mediatriz de un segmento es la línea recta perpendicular a dicho segmento trazada por el punto medio. Equivalentemente se puede definir como el lugar geométrico — la recta — cuyos puntos son equidistantes a los extremos del segmento.
En efecto, sea el segmento que sea, determinado por los puntos y . Sea el punto medio del segmento y la recta perpendicular al segmento por dicho punto. Sea un punto sobre la recta . En la simetría axial respecto de la recta , el punto es invariante y los puntos y son uno el simétrico del otro. Por tanto, en esta simetría, el segmento se transforma en el segmento , ambos segmentos son congruentes y el punto equidista de los puntos y . En consecuencia, todo punto que se encuentre sobre la recta pertenece a la mediatriz del segmento en cuestión.
Recíprocamente, sea un segmento y sea un punto que equidista de y de , esto es que los segmentos y son iguales. Consideremos la bisectriz del ángulo y sea la intersección de dicha bisectriz con el segmento .
Por construcción, los ángulos y son iguales y en la simetría axial respecto de la recta se transforman uno en el otro. Como los segmentos y son iguales, en esta simetría, los puntos y son uno la imagen del otro. Concluimos que el punto es punto medio del segmento y que dicho segmento es perpendicular a la recta .
Mediatriz dados dos puntos
Si se conocen dos puntos en el sistema de coordenadas cartesianas, una forma sencilla de calcular la recta llamada mediatriz es:
Para obtener la ecuación de la mediatriz de un segmento conocidos sus dos extremos, (o solo dos puntos cualesquiera) se procede de la siguiente manera:
Con las coordenadas de primer punto ( x , y ) realiza las operaciones
· Doble y cambia de signo de cada coordenada con su respectiva variable (o viceversa).
· Luego suma los cuadrados de ambas coordenadas.
· Repite el proceso en el segundo miembro con las coordenadas del otro punto
La mediatriz es la recta que esta a igual distancia de dos puntos.
Para trazar la mediatriz de un segmento dado AB, se trazarán dos arcos de igual radio arbitrario (siempre mayores que la mitad de la longitud del segmento) con centros en los extremos del segmento. Los dos arcos se cortarán en dos puntos C y D que pertenecen a la mediatriz, puesto que cumplen la condición de equidistar de los extremos del segmento.
Las mediatrices de un polígono cíclico son las mediatrices de sus lados, es decir, las perpendiculares a los lados que pasan por sus puntos medios. Estas se cortan en un punto que se denomina circuncentro, el cual es el centro de la circunferencia que pasa por los vértices del polígono, es decir, de la circunferencia circunscrita al polígono.
Esto se debe a que la mediatriz de una cuerda dada en cualquier circunferencia pasa necesariamente por el centro de la misma. Aplicando las mediatrices a los lados del polígono cíclico como si de cuerdas de circunferencia se tratara, obtenemos que las intersecciones de las mismas constituyen el centro de la circunferencia que contiene todas ellas y por tanto, la circunferencia circunscrita.
No todos los polígonos simples convexos son polígonos cíclicos, entre los polígonos cíclicos se encuentran todos los triángulos, los cuadriláteros cíclicos y todos los polígonos regulares simples.
Por la propiedad antes mencionada, en todo triángulo ABC las mediatrices de sus tres lados concurren en un mismo punto, llamado el circuncentro (O) del triángulo. Dicho punto equidista de los vértices del triángulo. La circunferencia de centro O y de radio OA, pasa por los otros dos vértices del triángulo. Se dice que dicha circunferencia es circunscrita al triángulo y que el triángulo está inscrito en la circunferencia.