Surgido en las divisiones inferiores de Chacarita Juniors, debutó en la primera tricolor el 13 de febrero de 1982 por la segunda fecha del campeonato de la B. En cancha de Banfield, su equipo derrotó 1 a 0 al Taladro con gol de Jorge García Melado. Islas tenía 16 años recién cumplidos.

Sus notables actuaciones llamaron la atención de muchos clubes de Primera División. A comienzos de 1983 fue contratado por Estudiantes de La Plata. Defendiendo la meta Pincharrata disputó 106 partidos. Muy querido en La Plata, tuvo actuaciones que lo catapultaron al seleccionado nacional con apenas 18 años en 1984.

Durante la Copa del Mundo 1986 fue transferido al Club Atlético Independiente. Avellaneda fue su lugar en el mundo: amado por los hinchas, tuvo actuaciones memorables. Su debut en Independiente se produjo el 13 de julio de 1986 contra Platense. El 18 de julio de 1987, enfrentando a Unión Atlético Táchira por la Copa Libertadores de América de ese año, recibió un gol de arco a arco por parte del arquero uruguayo-venezolano Daniel Francovig. A mediados de aquel año se peleó con el entrenador Jorge Solari, lo que motivó su salida. Su primer paso por Avellaneda se extendió entre 1986 y 1988.

A mediados de 1988 fue vendido al Atlético de Madrid donde no jugó ningún partido y fue cedido al Club Deportivo Logroñés donde obtuvo el reconocimiento de mejor arquero de la liga española '89/'90.

A mediados de 1991 Independiente volvió a comprarlo, alcanzando el más alto nivel de su carrera. Obtuvo el campeonato local Torneo Clausura 1994, la Supercopa Sudamericana de ese mismo año, y Recopa Sudamericana 1995. Jugando para Independiente, también obtuvo un reconocimiento poco usual en Argentina, al irse aplaudido de la cancha de Boca Juniors por la parcialidad local después de una actuación memorable. Figura del ciclo triunfal de Miguel Ángel Brindisi, dejó el club en 1995, envuelto en conflicto con el director técnico.

En 1995 pasó a Newell's Old Boys, donde solo jugó 15 partidos.

En 1996 fichó para Platense, donde jugó 10 partidos.

A mediados de 1996 fue transferido al Club Deportivo Toluca de México, donde tuvo muy buenas actuaciones. En 1997 Toluca contrató a Enrique Meza como técnico, quien tiempo después desafectó a Islas del plantel.

En 1998 regresó a la Argentina, siendo adquirido por Huracán, club del cual es confeso hincha.

A mediados de 1999 fue transferido a Tigre, jugando solo 12 partidos en el Campeonato de Primera B Nacional.

En julio de 2000 regresó a México y jugó en el León.

A mediados de 2002 regresó a su país y fue adquirido por Talleres de Córdoba, donde tuvo un muy buen rendimiento.

Finalmente, en julio de 2003 regresó a Independiente, club en el que estuvo durante tres períodos distintos y donde finalizaría su carrera profesional. El último de sus 241 partidos lo jugó el 4 de octubre de 2003 enfrentando a Colón.

En la selección nacional fue el arquero titular del equipo subcampeón mundial juvenil en 1983, donde fue elegido como el tercer mejor jugador de la competencia. Debutó en la Selección Mayor en 1984 con tan solo 18 años. Luego, fue el segundo arquero durante el Mundial de México en 1986, en el que se consagró campeón. Atajó en las Copas América de 1987 y 1989. En 1988 fue titular en los Juegos Olímpicos de Seúl. En 1989 renunció a la selección antes del Mundial de Italia 1990, al no garantizarle el técnico Carlos Salvador Bilardo la titularidad. En 1992 volvió a la selección, formando parte de los planteles campeones de la Copa Confederaciones 1992 y Copa América 1993. Si bien Goycochea fue el primer arquero durante las eliminatorias del Mundial 1994, el técnico Alfio Basile resolvió darle la titularidad a Islas en la Copa Mundial de Fútbol de 1994.