Neugebauer nació y se crio en Nueva York.^[2]​^[3]​ Nacida en Upper West Side, creció viendo obras y expuesta al teatro, y atribuye gran parte de ello a su madre.^[4]​ Estudió en el Hunter College High School,^[5]​ donde actuó en Siete minutos en el cielo, de su compañero de estudios Lin-Manuel Miranda.^[6]​ Neugebauer interpretaba a una fiestera.^[5]​ Neugebauer estudió Filología Inglesa en la Universidad de Yale,^[5]​ donde entabló amistad con la actriz y dramaturga Zoe Kazan.^[5]​ Ha dicho que "una de las mejores clases que tomé fue una de Derecho Constitucional"^[2]​ Durante su estancia en Louisville, recibió el premio Princess Grace Theater Fellowship 2013 en colaboración con el Actors Theatre of Louisville.^[7]​

Una de las jóvenes directoras de escena más destacadas, entre las producciones escénicas de Neugebauer figuran Mary Page Marlowe (2018), de Tracy Letts, At Home at the Zoo (2018), de Edward Albee, y los estrenos mundiales de The Wolves (2017), de Sarah DeLappe, Mrs. Murray's Menagerie (2019) y Miles For Mary (2017), Appropriate (2016) y Everybody (2017), de Branden Jacobs-Jenkins, así como The Antipodes (2017), de Annie Baker.^[8]​ Neugebauer ha seguido dirigiendo varias obras fuera de Broadway.

Debutó en Broadway como directora de la reposición de The Waverly Gallery, de Kenneth Lonergan, que debutó en el John Golden Theatre el 25 de septiembre de 2018 en preestrenos y se estrenó oficialmente el 25 de octubre. La obra, producida por Scott Rudin, se considera una "obra para el recuerdo", y está protagonizada por Elaine May, Lucas Hedges, Michael Cera, Joan Allen y David Cromer. La obra recibió elogios generalizados de la crítica, entre ellos el de Ben Brantley, crítico teatral de The New York Times, que describió su dirección como "afinada".^[9]​ La reposición recibió una nominación al Premio Tony a la Mejor Obra de Teatro, y una victoria como Mejor Actriz de Teatro (Elaine May).^[10]​ Ese mismo año debutó como directora de televisión en un episodio de la serie de HBO Room 104, de los hermanos Duplass.

En abril de 2019, se anunció que Neugebauer se asociaría con A24 y Scott Rudin para hacer su debut como directora de cine con Red, White and Water, más tarde retitulada Causeway,^[8]​junto a la guionista primeriza Elizabeth Sanders. Se anunció que Jennifer Lawrence se unía al proyecto como actriz estrella, la fase principal de rodaje del proyecto comenzó a mediados de junio de 2019 en Nueva Orleans.^[8]​

De 2021 a 2022 dirigió múltiples episodios de la serie de comedia creada por Mindy Kaling The Sex Lives of College Girls en HBO Max.^[11]​

En 2023 dirigió la obra de Branden Jacobs-Jenkins Appropriate en Broadway. La producción estuvo protagonizada por Sarah Paulson, Corey Stoll, Natalie Gold y Elle Fanning. La obra, un drama familiar, gira en torno a una familia que intenta vender la casa tras la muerte del patriarca y descubre un oscuro secreto.^[12]​ Al año siguiente dirigió la obra política de Itamar Moses The Ally en el Public Theater donde Josh Radnor interpreta a un profesor universitario judío al que un estudiante le pide que firme un manifiesto político.^[13]​ Ese mismo año dirigió la reposición de la obra de Anton Chekov Tío Vania en el Teatro Vivian Beaumont del Lincoln Center. En el reparto figuran Steve Carell, Alison Pill, William Jackson Harper, Jayne Houdyshell y Alfred Molina.^[14]​

• Lila Neugebauer en Internet Movie Database (en inglés).
• Lila Neugebauer en Internet Broadway Database (en inglés)
• Lila Neugebauer en la Base de datos de Internet Off-Broadway