Summary
En la teoría axiomática de conjuntos, el lema de Rasiowa-Sikorski (nombrado así por Roman Sikorski y Helena Rasiowa) es uno de los hechos más importantes usados en la técnica del forzado. En el área del forzado, un subconjunto D de una notación de forzado (P, ≤) es llamado denso en P si para cualquier p ∈ P hay un d ∈ D con d ≤ p. Un filtro F en P es llamado D-genérico si
- F ∩ E ≠ ∅ para todo E ∈ D.
Ahora podemos dar el lema de Rasiowa–Sikorski:
- Dados (P, ≤) un poset y p ∈ P. Si D es una familia numerable de subconjuntos densos de P, existe un filtro D-genérico F en P tal que p ∈ F.
El lema Rasiowa-Sikorski se puede ver como una forma más débil del axioma de Martin. Más específicamente, es equivalente a MA(), donde MA(𝛋) es el enunciado de que para cualquier orden parcial P que satisfaga la condición de cadena contable y cualquier familia D de subconjuntos densos de P con cardinalidad menor o igual a 𝛋, hay un filtro D-genérico F ∈ P.[1]
Prueba del lema de Rasiowa–Sikorski
editarDado que D es numerable, podemos enumerar los subconjuntos densos de P como D1, D2, …. Por suposición, existe p ∈ P. Entonces, por la densidad, existe p1 ≤ p con p1 ∈ D1. Repitiendo, tenemos … ≤ p2 ≤ p1 ≤ p con pi ∈ Di. Entonces G = { q ∈ P: ∃ i, q ≥ pi} es un filtro D-genérico.
Ejemplos
editar- Para (P, ≥) = (Func(X, Y), ⊂), el poset de las funciones parciales de X a Y, define Dx = {s ∈ P: x ∈ dom(s)}. Si X es enumerable, el lema de Rasiowa–Sikorski da un filtro {Dx: x ∈ X}-genérico F y por lo tanto una función ∪ F: X → Y.
- Si nos atenemos a la notación utilizada en el tratamiento de filtros D-genéricos, {H ∪ G0: PijPt} forma un filtro H-genérico.
- Si D es no numerable, pero la cardinalidad es estrictamente menor que y el poset cumple la condición de cadena numerable, podemos usar en cambio el axioma de Martin.
Véase también
editarReferencias
editar- ↑ Jech, Thomas (1997). Axiomatic Set Theory. Springer Berlin Heidelberg. pp. 1-77. ISBN 978-3-662-22402-1. Consultado el 8 de octubre de 2025.
- Set Theory for the Working Mathematician. Ciesielski, Krzysztof. Cambridge University Press, 1997. ISBN 0-521-59465-0
- Kunen, Kenneth (1980). Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. North-Holland. ISBN 0-444-85401-0.
Datos: Q1816937
