Su debut en el fútbol profesional fue en la primera de Platense en el año 1941 a los 18 años de edad en un partido contra Atlanta. En 1940 había salido campeón con Platense en la Cuarta división. Jugó en Platense hasta el año 1949.

Ya en 1950, por invitación de Adolfo Pedernera se va a jugar en Colombia, al servicio de Millonarios de Bogotá (en el equipo reconocido como el Ballet Azul). ^[2]​ Con el equipo colombiano ganó tres Campeonatos Colombianos (1951, 1952 y 1953), y una Copa Colombia (1953), además de la Pequeña Copa del Mundo de Clubes en 1953.^[2]​ Se le destaco por se un gran atajador de penaltis (aunque no se ha encontrado un registro oficial según las propias declaraciones de Cozzi de 26 cobros solo le convirtieron uno), además de dar pre-asistencias y asistencias debido a su gran saque. En total disputó 125 partidos en la Primera División y más de 65 amistosos.^[2]​

"Lo que nunca pensé yo, por ejemplo, era que el sábado iba la gente para hacer cola y todo eso, para entrar el domingo al estadio cuando jugábamos contra el Cali, ya que ellos también tenían grandes jugadores. Yo creo que eso no se vio en ningún otro lado. Casualmente, estaba leyendo en un diario una vez que me fue muy bien en Cali. La hinchada del Deportivo Cali gritaba mi nombre: "¡Cozzi, Cozzi!".". Declaración de Cozzi sobre una anecdota en Colombia.^[2]​

Luego en 1955 volvió para jugar nuevamente en el arco de Platense aunque con algún problema en la rodilla que se negaba a operar quedando libre al final de esa temporada. Desde 1956 y por tres años jugó en Independiente de Avellaneda y luego en Banfield en 1959.

Regresó a Millonarios en 1961, inicialmente como director técnico encargado del club, pero luego fue reemplazado por Gabriel Ochoa y retorno a su posición de arquero. Reforzo al equipo con su excompañeros Debatte, Grosso y Debrassi,^[2]​ Terminada la campaña se retiró definitivamente de la actividad ganando el título del Campeonato Colombiano de ese año, el cuarto en su cuenta personal.

Tras su regreso a la Argentina dirigió semi-profesionalmente para el Club Atlético Independiente (Mar del Plata) entre 1962/63. Luego trabajo por 18 años en una empresa del gobierno hasta que logró su jubilación a sus 62 años.

En 1952, se da un vibrante encuentro entre Deportivo Cali y Millonarios, un momento insólito que dejó boquiabiertos a los aficionados en las tribunas y a los oyentes de la radio. Todo ocurrió cuando Antonio Báez, delantero del conjunto embajador, se dispuso a ejecutar un penalti frente al experimentado guardameta Julio Asciolo.^[2]​

Báez cobró con convicción, pero Asciolo adivinó la intención y atajó el disparo. Sin embargo, el árbitro central determinó que el arquero se había adelantado y ordenó repetir la ejecución. En el segundo intento, la historia se repitió: nuevo penal, nueva atajada y nueva infracción por adelantamiento. La presión comenzaba a hacerse sentir.^[2]​

Para el tercer disparo, Báez, visiblemente afectado, se negó a patear. Lo que vino después fue una escena digna de los anales del fútbol criollo: desde el otro extremo del campo, los capitanes del equipo embajador, Francisco Zuluaga y el legendario Alfredo Di Stéfano, comenzaron a gesticular y a gritar con entusiasmo:"¡Julio, vení y cóbralo vos!". Y así fue. Cozzi cruzó la cancha, tomó el balón con decisión, cobró la ejecución… y anotó el gol, siendo el primer arquero que a nivel profesional marcaba una anotación en Colombia.^[2]​

Fue el arquero titular de la selección de fútbol de Argentina en el Campeonato Sudamericano 1947, en el que el seleccionado albiceleste se coronó campeón del continente por tercera vez consecutiva.

Campeonatos internacionales

1. La Tribuna popular visitante del Club Atlético Platense lleva su nombre.

2. Julio se convirtió en el segundo arquero en anotar gol en el Fútbol Profesional Colombiano y el primero en hacerlo de penal. El primer arquero en anotar fue Gabriel Ochoa Uribe aunque este lo convirtió en jugada en movimiento curiosamente los dos jugaban para Millonarios y estuvieron presentes como titular y suplente en ambos encuentros.

3. Una tribuna del Club Independiente también tiene su nombre.

Su hijo y los nietos mayores de Cozzi son bogotanos. Por otro lado, su hija se casó con el arquero colombiano Marino Lozano y se radicaron en Venezuela.^[2]​

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