Las invariantes de Riemann son transformaciones matemáticas realizadas en un sistema de ecuaciones de conservación para facilitar su resolución. Las invariantes de Riemann son constantes a lo largo de las curvas características de las ecuaciones diferenciales parciales, de ahí que se denominen «invariantes». Fueron obtenidos por primera vez por Bernhard Riemann en su trabajo sobre ondas planas en dinámica de gases.
[1]
donde y son los elementos de las matrices y donde y son elementos de vectores. Se preguntará si es posible reescribir esta ecuación como
Para ello, se introducirán curvas en el plano definido por el campo vectorial. El término entre paréntesis se reescribirá en términos de una derivada total donde se parametrizan como
Para simplificar estas ecuaciones características podemos hacer las transformaciones de tal manera que
Se puede multiplicar un factor de integración para ayudar a integrar esto. Así, el sistema tiene ahora la forma característica
La solución de este sistema puede obtenerse mediante el método hodográfico generalizado. [3][4]
Ejemplo
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Consideremos las ecuaciones de Euler unidimensionales escritas en términos de densidad y velocidad
donde es la velocidad del sonido introducida debido a la suposición isentrópica. Escribamos este sistema en forma matricial
donde la matriz del análisis anterior necesita encontrar los valores propios y los vectores propios. Se encuentra que los valores propios satisfacen
lo que da
y se encuentra que los vectores propios son
donde las invariantes de Riemann son
( y son las notaciones más utilizadas en dinámica de gases). Para gases perfectos con calores específicos constantes, existe la relación , donde es la relación de calor específico, que da los invariantes de Riemann[5][6]
para obtener las ecuaciones
En otras palabras,
donde y son las curvas características. Esto se puede resolver mediante la transformación hodográfica. En el plano hodográfico, si todas las características se colapsan en una sola curva, obtenemos ondas simples. Si la forma matricial del sistema de ecuaciones diferenciales parciales es
entonces es posible multiplicar por la matriz inversa , siempre y cuando el determinante de la matriz no sea cero.
↑Riemann, Bernhard (1860). «Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite». Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen8. Consultado el 8 de agosto de 2012.
↑Tsarev, S. P. (1985). «Sobre los corchetes de Poisson y los sistemas hamiltonianos unidimensionales de tipo hidrodinámico». Soviet Mathematics - Doklady31 (3): 488-491. MR 2379468. Zbl 0605.35075. Archivado desde el original el 30 de marzo de 2012. Consultado el 20 de agosto de 2011.
↑Zelʹdovich, I. B., & Raĭzer, I. P. (1966). Física de las ondas de choque y fenómenos hidrodinámicos a alta temperatura (Vol. 1). Academic Press.
↑Courant, R., & Friedrichs, K. O. 1948 Flujo supersónico y ondas de choque. Nueva York: Interscience.