Invariante de Riemann

Summary

Las invariantes de Riemann son transformaciones matemáticas realizadas en un sistema de ecuaciones de conservación para facilitar su resolución. Las invariantes de Riemann son constantes a lo largo de las curvas características de las ecuaciones diferenciales parciales, de ahí que se denominen «invariantes». Fueron obtenidos por primera vez por Bernhard Riemann en su trabajo sobre ondas planas en dinámica de gases. [1]

Teoría matemática

editar

Consideremos el conjunto de ecuaciones de conservación:

 

donde   y   son los elementos de las matrices   y   donde   y   son elementos de vectores. Se preguntará si es posible reescribir esta ecuación como

 

Para ello, se introducirán curvas en el plano   definido por el campo vectorial  . El término entre paréntesis se reescribirá en términos de una derivada total donde   se parametrizan como  

 

comparando las dos últimas ecuaciones encontramos

 

que ahora se puede escribir en forma característica

 

donde debemos tener las condiciones

 
 

donde   puede eliminarse para obtener la condición necesaria

 

por lo que, para una solución no trivial, el determinante es

 

Para los invariantes de Riemann, nos interesa el caso en el que la matriz   es una matriz identidad para formar

 

Obsérvese que es homogéneo debido a que el vector   es cero. En forma característica, el sistema es

  con  

Donde   es el eigenvector izquierdo de la matriz   y   son las velocidades características de los eigenvalues de la matriz   que satisfacen

 

Para simplificar estas ecuaciones características podemos hacer las transformaciones de tal manera que   Se puede multiplicar un factor de integración   para ayudar a integrar esto. Así, el sistema tiene ahora la forma característica

  en  , que es equivalente al sistema diagonal[2]
   

La solución de este sistema puede obtenerse mediante el método hodográfico generalizado. [3][4]

Ejemplo

editar

Consideremos las ecuaciones de Euler unidimensionales escritas en términos de densidad   y velocidad  

 
 

donde   es la velocidad del sonido introducida debido a la suposición isentrópica. Escribamos este sistema en forma matricial

 

donde la matriz   del análisis anterior necesita encontrar los valores propios y los vectores propios. Se encuentra que los valores propios satisfacen

 

lo que da

 

y se encuentra que los vectores propios son

 

donde las invariantes de Riemann son

 
 

(  y   son las notaciones más utilizadas en dinámica de gases). Para gases perfectos con calores específicos constantes, existe la relación  , donde   es la relación de calor específico, que da los invariantes de Riemann[5][6]

 
 

para obtener las ecuaciones

 
 

En otras palabras,

 

donde   y   son las curvas características. Esto se puede resolver mediante la transformación hodográfica. En el plano hodográfico, si todas las características se colapsan en una sola curva, obtenemos ondas simples. Si la forma matricial del sistema de ecuaciones diferenciales parciales es

 

entonces es posible multiplicar por la matriz inversa  , siempre y cuando el determinante de la matriz   no sea cero.

Véase también

editar

Referencias

editar
  1. Riemann, Bernhard (1860). «Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite». Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 8. Consultado el 8 de agosto de 2012. 
  2. Whitham, G. B. (1974). Linear and Nonlinear Waves. Wiley. ISBN 978-0-471-94090-6. 
  3. Kamchatnov, A. M. (2000). Ondas periódicas no lineales y sus modulaciones. World Scientific. ISBN 978-981-02-4407-1. 
  4. Tsarev, S. P. (1985). «Sobre los corchetes de Poisson y los sistemas hamiltonianos unidimensionales de tipo hidrodinámico». Soviet Mathematics - Doklady 31 (3): 488-491. MR 2379468. Zbl 0605.35075. Archivado desde el original el 30 de marzo de 2012. Consultado el 20 de agosto de 2011. 
  5. Zelʹdovich, I. B., & Raĭzer, I. P. (1966). Física de las ondas de choque y fenómenos hidrodinámicos a alta temperatura (Vol. 1). Academic Press.
  6. Courant, R., & Friedrichs, K. O. 1948 Flujo supersónico y ondas de choque. Nueva York: Interscience.