Supóngase que ${\displaystyle A}$  es un subconjunto de un espacio vectorial ${\displaystyle X.}$  El interior algebraico (o núcleo radial) de ${\displaystyle A}$  con respecto a ${\displaystyle X}$  es el conjunto de todos los puntos en los que ${\displaystyle A}$  es un conjunto radial. Un punto ${\displaystyle a_{0}\in A}$  se llama punto interno de ${\displaystyle A}$ ^[1]​^[2]​ y se dice que ${\displaystyle A}$  es radial desde ${\displaystyle a_{0}}$  si por cada ${\displaystyle x\in X}$  existe un número real ${\displaystyle t_{x}>0}$  tal que por cada ${\displaystyle t\in [0,t_{x}],}$  ${\displaystyle a_{0}+tx\in A.}$  Esta última condición también se puede escribir como ${\displaystyle a_{0}+[0,t_{x}]x\subseteq A}$  donde el conjunto

${\displaystyle a_{0}+[0,t_{x}]x~:=~\left\{a_{0}+tx:t\in [0,t_{x}]\right\}}$ 

es el segmento rectilíneo (o intervalo cerrado) que comienza en ${\displaystyle a_{0}}$  y termina en ${\displaystyle a_{0}+t_{x}x}$ . Este segmento es un subconjunto de ${\displaystyle a_{0}+[0,\infty )x,}$ , que es el rayo que emana de ${\displaystyle a_{0}}$  en la dirección de ${\displaystyle x}$  (es decir, paralelo a/una traslación de ${\displaystyle [0,\infty )x}$ ).

Por lo tanto, geométricamente, un punto interior de un subconjunto ${\displaystyle A}$  es un punto ${\displaystyle a_{0}\in A}$  con la propiedad de que en cada dirección (vector) posible ${\displaystyle x\neq 0,}$  ${\displaystyle A}$  contiene algún segmento rectilíneo (no degenerado) que comienza en ${\displaystyle a_{0}}$  y se dirige en esa dirección (es decir, un subconjunto del rayo ${\displaystyle a_{0}+[0,\infty )x}$ ).

El interior algebraico de ${\displaystyle A}$  (con respecto a ${\displaystyle X}$ ) es el conjunto de todos esos puntos. Es decir, es el subconjunto de puntos contenidos en un conjunto dado respecto del cual los puntos del conjunto son radiales.^[3]​

Si ${\displaystyle M}$  es un subespacio lineal de ${\displaystyle X}$  y ${\displaystyle A\subseteq X}$ , entonces esta definición se puede generalizar al interior algebraico de ${\displaystyle A}$  con respecto a ${\displaystyle M}$  es:^[4]​

${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A:=\left\{a\in X:{\text{ para todo }}m\in M,{\text{ existe algún }}t_{m}>0{\text{ tal que }}a+\left[0,t_{m}\right]\cdot m\subseteq A\right\}.}$ 

donde ${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A\subseteq A}$  siempre se cumple y si ${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A\neq \varnothing }$ , entonces ${\displaystyle M\subseteq \operatorname {aff} (A-A),}$  donde ${\displaystyle \operatorname {aff} (A-A)}$  es la envolvente afín de ${\displaystyle A-A}$  (que es igual a ${\displaystyle \operatorname {span} (A-A)}$ ).

Cierre algebraico

Se dice que un punto ${\displaystyle x\in X}$  es linealmente accessible de un subconjunto ${\displaystyle A\subseteq X}$  si existe algún ${\displaystyle a\in A}$  tal que el segmento rectilíneo ${\displaystyle [a,x):=a+[0,1)x}$  esté contenido en ${\displaystyle A.}$ ^[5]​. El cierre algebraico de ${\displaystyle A}$  con respecto a ${\displaystyle X}$ , indicado por ${\displaystyle \operatorname {acl} _{X}A,}$ , consta de ${\displaystyle A}$  y todos los puntos en ${\displaystyle X}$  a los que se puede acceder linealmente desde ${\displaystyle A.}$ ^[5]​.

En el caso especial en el que ${\displaystyle M:=X,}$ , el conjunto ${\displaystyle \operatorname {aint} _{X}A}$  se denomina interior algebraico o núcleo de ${\displaystyle A}$  y se denota por ${\displaystyle A^{i}}$  o ${\displaystyle \operatorname {\text{núcleo}} A.}$ .

Formalmente, si ${\displaystyle X}$  es un espacio vectorial, entonces el interior algebraico de ${\displaystyle A\subseteq X}$  es^[6]​

${\displaystyle \operatorname {aint} _{X}A:=\operatorname {\text{núcleo}} (A):=\left\{a\in A:{\text{ para todo }}x\in X,{\text{ existe algún }}t_{x}>0,{\text{ tal que para todo }}t\in \left[0,t_{x}\right],a+tx\in A\right\}.}$ 

Si ${\displaystyle A}$  no está vacío, entonces estos subconjuntos adicionales también son útiles para los enunciados de muchos teoremas en el análisis funcional convexo (como el teorema de Ursescu):

${\displaystyle {}^{ic}A:={\begin{cases}{}^{i}A&{\text{si }}\operatorname {aff} A{\text{ es un conjunto cerrado,}}\\\varnothing &{\text{en caso contrario}}\end{cases}}}$ 

${\displaystyle {}^{ib}A:={\begin{cases}{}^{i}A&{\text{si }}\operatorname {expan} (A-a){\text{ es un subespacio lineal abarrilado de }}X{\text{ para cualquier/todo }}a\in A{\text{,}}\\\varnothing &{\text{en caso contrario}}\end{cases}}}$ 

Si ${\displaystyle X}$  es un espacio de Fréchet, ${\displaystyle A}$  es convexo y ${\displaystyle \operatorname {aff} A}$  está cerrado en ${\displaystyle X}$ , entonces ${\displaystyle {}^{ic}A={}^{ib}A}$  pero en general es posible tener ${\displaystyle {}^{ic}A=\varnothing }$  mientras ${\displaystyle {}^{ib}A}$  es no vacío.

Si ${\displaystyle A=\{x\in \mathbb {R} ^{2}:x_{2}\geq x_{1}^{2}{\text{o }}x_{2}\leq 0\}\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ , entonces ${\displaystyle 0\in \operatorname {\text{núcleo}} (A),}$  pero ${\displaystyle 0\not \in \operatorname {int} (A)}$  y ${\displaystyle 0\not \in \operatorname {\text{núcleo}} (\operatorname {{\text{núcleo}}(A)} ).}$ 

Supóngase que ${\displaystyle A,B\subseteq X.}$ 

• En general, ${\displaystyle \operatorname {\text{núcleo}} A\neq \operatorname {\text{núcleo}} (\operatorname {\text{núcleo}} A).}$  Pero si ${\displaystyle A}$  es convexo, entonces:
  • ${\displaystyle \operatorname {\text{núcleo}} A=\operatorname {\text{núcleo}} (\operatorname {\text{núcleo}} A),}$  y
  • para todos los ${\displaystyle x_{0}\in \operatorname {\text{núcleo}} A,y\in A,0<\lambda \leq 1}$  y luego ${\displaystyle \lambda x_{0}+(1-\lambda )y\in \operatorname {\text{núcleo}} A.}$ 
• ${\displaystyle A}$  es un subconjunto absorbente de un espacio vectorial real si y solo si ${\displaystyle 0\in \operatorname {\text{núcleo}} (A).}$ ^[3]​
• ${\displaystyle A+\operatorname {\text{núcleo}} B\subseteq \operatorname {\text{núcleo}} (A+B)}$ ^[7]​
• ${\displaystyle A+\operatorname {\text{núcleo}} B=\operatorname {\text{núcleo}} (A+B)}$  si ${\displaystyle B=\operatorname {\text{núcleo}} B.}$ ^[7]​

Tanto el núcleo como el cierre algebraico de un conjunto convexo son nuevamente convexos.^[5]​ Si ${\displaystyle C}$  es convexo, ${\displaystyle c\in \operatorname {\text{núcleo}} C,}$  y ${\displaystyle b\in \operatorname {acl} _{X}C}$ , entonces el segmento rectilíneo ${\displaystyle [c,b):=c+[0,1)b}$  está contenido en ${\displaystyle \operatorname {\text{núcleo}} C.}$ ^[5]​

Sea ${\displaystyle X}$  un espacio vectorial topológico, ${\displaystyle \operatorname {int} }$  denota el operador interior y ${\displaystyle A\subseteq X}$ . Entonces:

• ${\displaystyle \operatorname {int} A\subseteq \operatorname {\text{núcleo}} A}$ 
• Si ${\displaystyle A}$  es convexo no vacío y ${\displaystyle X}$  es de dimensión finita, entonces ${\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {\text{núcleo}} A.}$ ^[1]​
• Si ${\displaystyle A}$  es convexo con interior no vacío, entonces ${\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {\text{núcleo}} A.}$ ^[8]​
• Si ${\displaystyle A}$  es un conjunto convexo cerrado y ${\displaystyle X}$  es un espacio métrico completo, entonces ${\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {\text{núcleo}} A.}$ ^[9]​

Si ${\displaystyle M=\operatorname {aff} (A-A)}$ , entonces el conjunto ${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A}$  se denota por ${\displaystyle {}^{i}A:=\operatorname {aint} _{\operatorname {aff} (A-A)}A}$  y se llama el interior algebraico relativo de ${\displaystyle A}$ .^[7]​ Este nombre surge del hecho de que ${\displaystyle a\in A^{i}}$  si y solo si ${\displaystyle \operatorname {aff} A=X}$  y ${\displaystyle a\in {}^{i}A}$  (donde ${\displaystyle \operatorname {aff} A=X}$  si y solo si ${\displaystyle \operatorname {aff} (A-A)=X}$ ).

Si ${\displaystyle A}$  es un subconjunto de un espacio vectorial topológico ${\displaystyle X}$ , entonces el interior relativo de ${\displaystyle A}$  es el conjunto

${\displaystyle \operatorname {rint} A:=\operatorname {int} _{\operatorname {aff} A}A.}$ 

Es decir, el interior topológico de A en ${\displaystyle \operatorname {aff} A,}$  es el subespacio lineal afín más pequeño de ${\displaystyle X}$  que contiene a ${\displaystyle A.}$ . El siguiente conjunto también es útil:

${\displaystyle \operatorname {ri} A:={\begin{cases}\operatorname {rint} A&{\text{si }}\operatorname {aff} A{\text{ es un subespacio cerrado de }}X{\text{,}}\\\varnothing &{\text{en caso contrario}}\end{cases}}}$ 

Si ${\displaystyle A}$  es un subconjunto de un espacio vectorial topológico ${\displaystyle X}$ , entonces el interior cuasi relativo de ${\displaystyle A}$  es el conjunto

${\displaystyle \operatorname {qri} A:=\left\{a\in A:{\overline {\operatorname {cone} }}(A-a){\text{es un subespacio lineal de }}X\right\}.}$ 

En un espacio vectorial topológico de dimensión finita de Hausdorff, ${\displaystyle \operatorname {qri} A={}^{i}A={}^{ic}A={}^{ib}A.}$ 

• Punto límite
• Interior (topología)
• Unidad de orden
• Interior cuasirrelativo
• Conjunto radial
• Interior relativo
• Teorema de Ursescu

• Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2006). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (Third edición). Berlin: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-29587-7. OCLC 262692874. 
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834. 
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135. 
• Schechter, Eric (1996). Handbook of Analysis and Its Foundations (First edición). San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365. 
• Zălinescu, Constantin (30 de julio de 2002). Convex Analysis in General Vector Spaces (J). River Edge, N.J. London: World Scientific Publishing. ISBN 978-981-4488-15-0. MR 1921556. OCLC 285163112.