Dada una sucesión de números reales distintos de 0, ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots }$ , se puede construir una fórmula general para la integral^[1]​

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\operatorname {sen}(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,dx}$ 

Para establecer la fórmula, habrá que considerar las sumas a partir de los ${\displaystyle a_{k}}$ . En particular, si ${\displaystyle \gamma =(\gamma _{1},\gamma _{2},\ldots ,\gamma _{n})\in \{\pm 1\}^{n}}$  es una ${\displaystyle n}$ -upla donde cada uno de los términos es ${\displaystyle \pm 1}$ , entonces se puede escribir ${\displaystyle b_{\gamma }=a_{0}+\gamma _{1}a_{1}+\gamma _{2}a_{2}+\cdots +\gamma _{n}a_{n}}$ , que es una especie de suma alterna de los ${\displaystyle a_{k}}$ , y se puede establecer ${\displaystyle \varepsilon _{\gamma }=\gamma _{1}\gamma _{2}\cdots \gamma _{n}}$ , que puede ser 1 o -1. Con esta notación, el valor de esta integral es

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\operatorname {sen}(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,dx={\frac {\pi }{2a_{0}}}C_{n}}$ 

donde

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{2^{n}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}\sum _{\gamma \in \{\pm 1\}^{n}}\varepsilon _{\gamma }b_{\gamma }^{n}\operatorname {sgn}(b_{\gamma })}$ 

En el caso en que ${\displaystyle a_{0}>|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|}$ , se tiene ${\displaystyle C_{n}=1}$ .

Además, si hay un ${\displaystyle n}$  tal que para cada ${\displaystyle k=0,\ldots ,n-1}$  tenemos ${\displaystyle 0<a_{n}<2a_{k}}$  y ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}<a_{0}<a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}}$ , que significa que ${\displaystyle n}$  es el primer valor cuando la suma parcial de los ${\displaystyle n}$  primeros elementos de la sucesión excede de ${\displaystyle a_{0}}$ , entonces ${\displaystyle C_{k}=1}$  para cada ${\displaystyle k=0,\ldots ,n-1}$ , pero

${\displaystyle C_{n}=1-{\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}-a_{0})^{n}}{2^{n-1}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}}$ 

El primer ejemplo es el caso cuando ${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{2k+1}}}$ .

Nótese que, si ${\displaystyle n=7}$ , entonces ${\displaystyle a_{7}={\frac {1}{15}}}$  and ${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\approx 0.955}$ , pero ${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{15}}\approx 1.02}$ , por lo que, como ${\displaystyle a_{0}=1}$ , tenemos que

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}{\frac {\operatorname {sen}(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\operatorname {sen}(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}$ 

que se sigue cumpliendo incluso al eliminar cualquiera de los productos, pero

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}{\frac {\operatorname {sen}(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\operatorname {sen}(x/15)}{x/15}}\,dx\\[5pt]={}&{\frac {\pi }{2}}\left(1-{\frac {(3^{-1}+5^{-1}+7^{-1}+9^{-1}+11^{-1}+13^{-1}+15^{-1}-1)^{7}}{2^{6}\cdot 7!\cdot (1/3\cdot 1/5\cdot 1/7\cdot 1/9\cdot 1/11\cdot 1/13\cdot 1/15)}}\right)\end{aligned}}}$ 

que es igual al valor dado anteriormente.

• Esta obra contiene una traducción derivada de «Borwein integral» de Wikipedia en inglés, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.
• «La curiosa y desconcertante integral de Borwein». Microsiervos. Consultado el 5 de diciembre de 2018. 
• «Patterns That Eventually Fail». Azimuth (en inglés). 20 de septiembre de 2018. Consultado el 5 de diciembre de 2018. 
• «Breakdown». Futility Closet (en inglés). 2 de febrero de 2018. Consultado el 5 de diciembre de 2018.