Nacida en Bærum, Bache se graduó de la Escuela Secundaria Superior Valler en 1992 antes de matricularse en la London School of Economics, donde obtuvo una Maestría en Ciencias en 1999. Posteriormente, completó un doctorado en la Universidad de Oslo en 2007.^[2]​

Durante sus estudios, fue asistente de investigación en el Departamento de Economía de la UiO de 1996 a 1998 y asistente de investigación en el Norges Bank de 1998 a 2000. Trabajó como consultora, asesora y asesora sénior en el Norges Bank de 2000 a 2009 y, tras su salida laboral, ocupó un puesto como profesora asociada de economía en la BI Norwegian Business School de 2008 a 2010.^[3]​

Se convirtió en vicegobernadora en 2020, después de que su predecesor perdiera su autorización de seguridad.^[4]​

Durante su discurso de primavera de 2021, Bache expresó sus dudas sobre si las criptomonedas reemplazarían a la corona noruega: «Si las criptomonedas van a reemplazar a la corona, el Estado también debe realizar sus pagos y cobros en una moneda distinta a la corona».^[5]​ En noviembre, expresó sus dudas sobre las criptomonedas, calificándolas de «amenaza»: «Su prevalencia y alcance son actualmente bastante modestos en Noruega, pero señalamos posibles canales a través de los cuales las criptomonedas pueden tener efectos en el sistema financiero y representar una amenaza para este a largo plazo».^[6]​

En diciembre de 2021, Bache postuló para convertirse en la próxima gobernadora del banco central noruego, siendo Jens Stoltenberg y ella los candidatos más destacados.^[7]​ La controversia surgió cuando NRK publicó solo partes de su currículum durante una transmisión. La emisora estatal corrigió posteriormente el error, incluyendo las partes faltantes.^[8]​

Al principio, Bache no obtuvo el puesto, pero aceptó convertirse en gobernadora interina hasta que Stoltenberg terminara su mandato como Secretario General de la OTAN.^[9]​ Sin embargo, el 24 de marzo, tras una cumbre de la OTAN sobre la invasión rusa de Ucrania, Stoltenberg anunció que continuaría como Secretario General de la OTAN un año más y que dimitiría como gobernadora entrante. Bache fue entonces nominada para cubrir el mandato que Stoltenberg debía asumir.^[10]​ Fue nombrada formalmente para el cargo el 1 de abril en el Consejo de Estado.^[11]​

El mismo día de su nombramiento, Bache anunció que el Banco de Noruega subiría los tipos de interés, declarando: «Como evaluamos las perspectivas y el panorama de riesgos, es muy probable que el tipo de interés oficial se incremente aún más en junio».^[12]​

En noviembre de 2023, solicitó al gobierno noruego la autorización para invertir en capital privado, sin obtener respuesta formal hasta el momento.^[13]​