Nació en Kalundborg el 3 de marzo de 1723 en la familia del director de escuela Westi Hansen Eegberg y Valborg Aabye. No se conoce qué educación o aprendizaje en el oficio de pintor tuvo. Es conocido particularmente por las vistas de Copenhague realizadas por orden real entre 1745 y 1750 en colaboración con Johannes Rach. Algunas de las pinturas están basadas en placas de cobre de los libros Den Danske Vitruvius (1746-1748) y Hafnia Hodierna (1748) de Lauritz de Thurah. Las pinturas están consideradas de gran valor histórico puesto que Eegberg y Rach realizaron sus obras en color y mostraron escenas de la vida cotidiana, aunque su calidad pueda ser un poco primitiva.

Desde el 7 de enero de 1752 Eegberg viviría trabajando como funcionario en el ayuntamiento de Fredericia, donde viviría hasta su muerte en 1784. Se casó con Marianne Dorothea Hannefelt (Rise, 3 de junio de 1735 - Fredericia, 23 de diciembre de 1785), hija del gobernador del condado y asesor Johan Christopher Hannefelt y Sophie Margaretha NN. Durante su estancia en esta ciudad realizó algunas vistas de la ciudad y copió un retrato del rey Federico V y la reina Luisa de Carl Gustaf Pilo, cuadros que donó al ayuntamiento de la ciudad.

De la cooperación de Hans Heinrich Eegberg y Johannes Rach:

• 177 pinturas en perspectiva por orden real (1747-1750, Nationalmuseet, algunas en el Museo de Copenhague)
• 33 pinturas de la vida de los sami, sobre esbozos de Knud Leem (Nationalmuseet, Colección Etnográfica)

De Eegberg solo:

• Palacio de Sorgenfri (1745, Museo Nacional de Historia del Castillo de Frederiksborg).
• Dos vistas de Fredericia (1761, Ayuntamiento de Fredericia).
• Federico V de Dinamarca y la Reina Luisa (copia de Carl Gustaf Pilo, Ayuntamiento de Fredericia).

• E.C. Godée Molsbergen y J. Visscher, Zuid-Afrikas geschiedenis en beeld, Ámsterdam, 1913.
• F. de Haan (red.), Oud Batavia, Batavia, 1922-23 (2. oplag 1935).
• J. de Loos-Haaxman, Johannes Rach en zijn werk, Batavia, 1928.
• Christian Elling y Victor Hermansen, Holbergtidens København i Billeder fra Samtiden, Copenhague: C.A. Reitzel, 1932, pp. 22-29, 30, 33-108 (reimpreso en Poul Strømstad, Holbergtidens København skildret af Malerne Rach og Eegberg, 1977).

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• "Med to malere på byvandring" fra Nationalmuseet
• Hans Heinrich Eegberg en Kunstindeks Danmark/Weilbachs Kunstnerleksikon.