• Un grupoide de Lie es un ${\displaystyle G}$  grupoide con base ${\displaystyle M}$  tal que
  • ${\displaystyle G}$ , ${\displaystyle M}$  son variedades diferenciales.
  • ${\displaystyle s,t:G\to M}$ , las aplicaciones origen y final, son sumersiones sobreyectivas.
  • ${\displaystyle 1:M\to G}$ , la aplicación unidad, es diferenciable.
  • La multiplicación ${\displaystyle G*G\to G}$  es diferenciable.

Observar que si denotamos ${\displaystyle \Delta _{M}}$  la diagonal de ${\displaystyle M}$ , entonces ${\displaystyle G*G=(s\times t)^{-1}(\Delta _{M})}$ . Como ${\displaystyle s\times t}$  es una sumersión suryectiva, por el teorema de la función inversa obtenemos que ${\displaystyle G*G}$  es una subvariedad incrustada y cerrada de ${\displaystyle G\times G}$  y hereda su estructura diferenciable. Esto nos dice que tiene sentido hablar de que el producto o multiplicación es diferenciable.

• Sea ${\displaystyle (E,q,M)}$  un fibrado vectorial y ${\displaystyle \Phi (E):=\{\xi :E_{x}\to E_{y}/x,y\in M,\xi }$  es lineal ${\displaystyle \}}$ , es decir todas las transformaciones lineales entre fibras. Si ${\displaystyle \xi :E_{x}\to E_{y}\in \Phi }$ , definimos ${\displaystyle s(\xi )=x}$ , el origen de ${\displaystyle \xi }$  y ${\displaystyle t(\xi )=y}$ , el destino de ${\displaystyle \xi }$ . Claramente ${\displaystyle s,t:\Phi \to M.}$  Si ${\displaystyle \xi ,\eta \in \Phi (E)}$ , la composición ${\displaystyle \eta \xi }$  sólo tiene sentido si ${\displaystyle t(\xi )=s(\eta )}$ . Si se define ${\displaystyle \Phi (E)*\Phi (E):=\{(\eta ,\xi )\in \Phi (E)\times \Phi (E):t(\xi )=s(\eta )\}}$  Entonces existe un producto ${\displaystyle \Phi (E)*\Phi (E)\to \Phi (E)}$  definido como arriba. De esta forma ${\displaystyle \Phi (E)}$  es un grupoide con base ${\displaystyle M}$ , donde ${\displaystyle s,\,t}$  son las aplicaciones origen y final, respectivamente y la identidad es el isomorfismo identidad en cada fibra.

• Sea ${\displaystyle M}$  una variedad diferenciable y ${\displaystyle G}$  un grupo de Lie. Entonces el grupoide trivial ${\displaystyle M\times G\times M\rightrightarrows M}$  es un grupoide de Lie.