La forma normal algebraica (FNA) es una forma canónica, lo que significa que dos fórmulas equivalentes se pueden transformar en la misma FNA, lo que permite comprobar si dos fórmulas son equivalentes. Esto es particularmente útil en sistemas de demostración automática de teoremas. Al contrario que otras formas normales, la FNA se puede representar como una lista sencilla de listas de nombres de variables. Las formas normales conjuntiva y disyuntiva también requieren determinar si cada variable está negada o no. La forma normal negativa no sirve para este propósito, ya que no usa la igualdad como una relación de equivalencia: "a ∨ ¬A" no se reduce a "1", aunque son expresiones equivalentes.

Si se expresa una fórmula en forma normal algebraica, entonces es fácil identificar funciones lineales (utilizadas, por ejemplo, en registros de desplazamiento con retroalimentación lineal (linear feedback shift registers): una función lineal es aquella que es suma de literales simples. Se pueden deducir las propiedades de los registros de desplazamiento a partir de ciertas propiedades de la función de retroalimentación en FNA.

Existen formas directas para transformar las operaciones booleanas estándares sobre fórmulas en FNA para obtener resultados en FNA.

La disyunción lógica exclusiva (XOR) se realiza directamente:

(1 ⊕ x) ⊕ (1 ⊕ x ⊕ y)

1 ⊕ x ⊕ 1 ⊕ x ⊕ y

1 ⊕ 1 ⊕ x ⊕ x ⊕ y

y

La negación lógica (NOT) es el mismo que aplicar un XOR con 1:^[1]​

¬(1 ⊕ x ⊕ y)

1 ⊕(1 ⊕ x ⊕ y)

1 ⊕ 1 ⊕ x ⊕ y

x ⊕ y

La conjunción lógica (AND) se transforma mediante la propiedad distributiva^[2]​

(1 ⊕ x)(1 ⊕ x ⊕ y)

1(1 ⊕ x ⊕ y) ⊕ x(1 ⊕ x ⊕ y)

(1 ⊕ x ⊕ y) ⊕ (x ⊕ x ⊕ xy)

1 ⊕ x ⊕ x ⊕ x ⊕ y ⊕ xy

1 ⊕ x ⊕ y ⊕ xy

La disyunción lógica (OR) usa o bien 1 ⊕ (1 ⊕ a)(1 ⊕ b)^[3]​ (más sencillo cuando los dos operandos tienen términos puros verdaderos), o bien a ⊕ b ⊕ ab^[4]​

(1 ⊕ x) + (1 ⊕ x ⊕ y)

1 ⊕ (1 ⊕ 1 ⊕ x)(1 ⊕ 1 ⊕ x ⊕ y)

1 ⊕ x(x ⊕ y)

1 ⊕ x ⊕ xy

Toda variable en una fórmula está en FNA pura, de tal modo que solo es necesario transformar las operaciones booleanas de la fórmula como hemos visto antes para obtener la fórmula completa en FNA. Por ejemplo:

x + (y · ¬z)

x + (y(1 ⊕ z))

x + (y ⊕ yz)

x ⊕ (y ⊕ yz) ⊕ x(y ⊕ yz)

x ⊕ y ⊕ xy ⊕ yz ⊕ xyz

A veces, la forma normal algebraica se describe en una forma equivalente:

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\!}$	${\displaystyle a_{0}\oplus \!}$
	${\displaystyle a_{1}x_{1}\oplus a_{2}x_{2}\oplus \cdots \oplus a_{n}x_{n}\oplus \!}$
	${\displaystyle a_{1,2}x_{1}x_{2}\oplus \cdots \oplus a_{n-1,n}x_{n-1}x_{n}\oplus \!}$
	${\displaystyle \cdots \oplus \!}$
	${\displaystyle a_{1,2,\ldots ,n}x_{1}x_{2}\ldots x_{n}\!}$

on ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{1,2,\ldots ,n}\in \{0,1\}^{*}}$  describe completamente ${\displaystyle f}$ .

Solo hay cuatro funciones con un argumento:

• ${\displaystyle f(x)=0}$ 
• ${\displaystyle f(x)=1}$ 
• ${\displaystyle f(x)=x}$ 
• ${\displaystyle f(x)=1\oplus x}$ 

Para representar una función con múltiples argumentos, se puede utilizar la siguiente igualdad:

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=g(x_{2},\ldots ,x_{n})\oplus x_{1}h(x_{2},\ldots ,x_{n})}$ , on

• ${\displaystyle g(x_{2},\ldots ,x_{n})=f(0,x_{2},\ldots ,x_{n})}$ 
• ${\displaystyle h(x_{2},\ldots ,x_{n})=f(0,x_{2},\ldots ,x_{n})\oplus f(1,x_{2},\ldots ,x_{n})}$ 

En efecto,

• si ${\displaystyle x_{1}=0}$ , entonces ${\displaystyle x_{1}h=0}$  y por tanto ${\displaystyle f(0,\ldots )=f(0,\ldots )}$ 
• si ${\displaystyle x_{1}=1}$ , entonces ${\displaystyle x_{1}h=h}$  y por tanto ${\displaystyle f(1,\ldots )=f(0,\ldots )\oplus f(0,\ldots )\oplus f(1,\ldots )}$ 

Como tanto ${\displaystyle g}$  como ${\displaystyle h}$  tienen menos argumento que ${\displaystyle f}$ , de ahí se sigue que podemos emplear este proceso de forma recursiva, y acabaremos con funciones de una sola variable. Por ejemplo, construimos ahora la FNA de ${\displaystyle f(x,y)=x\lor y}$  (disyunción lógica):

• ${\displaystyle f(x,y)=f(0,y)\oplus x(f(0,y)\oplus f(1,y))}$ 
• como que ${\displaystyle f(0,y)=0\lor y=y}$  i ${\displaystyle f(1,y)=1\lor y=1}$ 
• se sigue que ${\displaystyle f(x,y)=y\oplus x(y\oplus 1)}$ 
• por distribución, obtenemos la FNA final: ${\displaystyle f(x,y)=y\oplus xy\oplus x=x\oplus y\oplus xy}$ 

• Función booleana
• Grafo lógico
• Polinomio de Zhegalkin
• Forma normal negativa
• Forma normal conjuntiva
• Forma normal disyuntiva

• Esta obra contiene una traducción derivada de «Forma normal algebraica» de Wikipedia en catalán, concretamente de esta versión, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.