El método de filtrado recibe el nombre del emigrante húngaro Rudolf E. Kálmán, aunque Thorvald Nicolai Thiele ^[2]​^[3]​ y Peter Swerling desarrollaron un algoritmo similar. Richard S. Bucy, del Laboratorio de Física Aplicada de Johns Hopkins contribuyó a la teoría, causando que a veces se le conozca como el filtrado de Kalman–Bucy. Kalman se inspiró en derivar el filtro de Kalman aplicando variables de estado al problema del filtrado de Wiener.^[4]​ Stanley F. Schmidt es generalmente acreditado con el desarrollo de la primera implementación del filtro de Kalman. Se dio cuenta de que el filtro puede ser dividido en dos partes distintas, una para los lapsos de tiempo entre las salidas de los sensores y otra para la incorporación de mediciones.^[5]​ Fue durante una visita de Kalman al Centro de Investigación Ames de la NASA que Schmidt vio la aplicabilidad de las ideas de Kalman al problema no lineal de estimación de trayectorias para el programa Apolo, lo que llevó a su incorporación en la computadora de navegación del Apolo.^[6]​

Este filtro digital a veces es denominado como el filtro de Stratonovich–Kalman–Bucy porque es un caso específico de un filtro no lineal más general desarrollado por el matemático soviético Ruslan Stratónovich. De hecho, algunas de las ecuaciones del filtro lineal aparecieron en artículos de Stratónovich publicados antes del verano de 1961, cuando Kálmán se reunió con Stratonovich durante una conferencia en Moscú.

El filtrado de Kalman fue descrito y desarrollado de forma parcial en artículos técnicos por Swerling (1958), Kálmán (1960) y Kálmán y Bucy (1961).

Los filtros de Kalman han sido vitales en la implementación del sistema de navegación en submarinos nucleares balísticos de la Marina de los Estados Unidos, también en los sistemas de guía y navegación de misiles de crucero como el Tomahawk de la Marina de Estados Unidos y el misil de crucero lanzado desde el aire de la Fuerza Aérea de Estados Unidos. También es usado en los sistemas de guía y navegación de vehículos de lanzamiento reutilizables y el control de actitud y navegación de naves espaciales que están en la Estación Espacial Internacional.^[7]​

El filtrado de Kalman utiliza el modelo dinámico de un sistema (ej. Leyes físicas del movimiento), las entrada de control conocidas de dicho sistema y múltiples mediciones secuenciales (como las de los sensores)para formar un estimado de las cantidades variables del sistema (su estado) que es mejor que el estimado obtenido usando únicamente una medición. Por eso, es un algoritmo común de fusión de sensores y de datos.

Los datos ruidosos de los sensores, las aproximaciones en las ecuaciones que describen la evolución del sistema y los factores externos que no son contemplados limitan la precisión con la que es posible saber el estado del sistema. El filtro de Kalman maneja de forma efectiva la incertidumbre gracias al ruido en los datos de los sensores y, hasta cierto grado, los factores externos aleatorios. El filtro de Kalman produce una estimación del estado del sistema como un promedio entre el estado predicho del sistema y una nueva medida, usando un promedio ponderado. El propósito de los pesos es que los valores (menores) son más "confiables". Los pesos se calculan con la covarianza, que es una medida de la incertidumbre estimada en la predicción del estado del sistema. El resultado de este promedio ponderado es una estimación nueva del estado que se encuentra entre el estado predicho y el estado medido, y tiene una incertidumbre estimada menor que cualquiera de los dos por separado. Este proceso se repite en cada paso de tiempo, donde la estimación nueva y su covarianza informan la predicción usada en la iteración que sigue. Esto significa que el filtro de Kalman funciona de manera recursiva y solo requiere la última “mejor suposición” del estado del sistema, en lugar de toda la historia, para calcular un nuevo estado.

La certeza de las mediciones y la estimación del estado actual son consideraciones importantes. Es común discutir la respuesta del filtro en términos de ganancia del filtro de Kalman. Las ganancias de Kalman son el peso dado a las mediciones y el estimado actual puede "ajustarse" para alcanzar un desempeño particular. Con una ganancia alta, el filtro coloca más peso a las mediciones más recientes y se adapta a ellas más rápido. Con una ganancia baja, el filtro se ajusta más de cerca a las predicciones del modelo. En los extremos, una ganancia alta (cerca a uno) dará una trayectoria estimada más alta, mientras que una ganancia baja (cerca a cero) suavizará el ruido, pero bajará la capacidad de respuesta.

Al realizar los cálculos del filtro (como se discute más adelante), la estimación del estado y las covarianzas están codificadas en matrices por las múltiples dimensiones involucradas en una serie de cálculos. Esto permite representar relaciones lineales entre diferentes variables de estado (como posición, velocidad y aceleración) en cualquiera de los modelos de transición o covarianzas.

Como un ejemplo de aplicación, consideremos el problema de determinar la ubicación exacta de un camión. El camión puede estar equipado con una unidad GPS que nos brinda una estimación de la posición con un margen de error de unos metros. El estimado del GPS probablemente sea ruidosa; las lecturas “saltan” rápidamente, aunque se mantienen dentro de unos pocos metros de la posición real. Además, dado que se espera que el camión siga las leyes de física, su posición también se puede estimar integrando su velocidad a lo largo del tiempo, lo cual termina llevando un registro de las revoluciones de las ruedas y el ángulo del volante. Esta técnica se conoce como navegación inercial (dead reckoning). Normalmente la navegación inercial proporcionará una estimación muy suave de la posición del camión, pero se desviará con el tiempo a medida de que acumulen errores pequeños.

En este ejemplo, se puede considerar que el filtro de Kalman opera en dos fases distintas: predicción y actualización. En la fase de predicción, la posición se modifica de acuerdo con las leyes físicas de movimiento (el modelo dinámico o de "transición de estados"). No solo calculará una nueva estimación de la posición, también se calculará una nueva covarianza. Tal vez esa covarianza sea proporcional a la velocidad del camión porque tenemos menos certeza sobre la precisión de la estimación de posición por la navegación oficial altas velocidades, pero mucha en bajas velocidades. Luego, en la fase de actualización, se toma una posición del camión a partir de la unidad GPS. Junto con esta medición llega cierta incertidumbre y su covarianza relativa con relación a la predicción de la fase anterior determina cuanto influirá la nueva medición en la predicción actualizada. Idealmente, como las posiciones de la navegación inercial tienden a desviarse de la posición real, las medidas del GPS deberían "jalar" a las estimaciones de la posición hacia la posición real, pero sin perturbarla al punto de volverse ruidosa y saltar rápidamente.

El filtro de Kalman es un filtro recursivo eficiente que estima el estado interno de un sistema dinámico lineal a partir de una serie de mediciones ruidosas. Se utiliza en un amplio rango de aplicaciones en ingeniería y econometría desde el radar y visión por computadora hasta la estimación de modelos macroeconómicos estructurales, ^[8]​ ^[9]​ y es un tema importante en la teorías de control e ingeniería de sistemas de control. Juntos con el regulador lineal-cuadrático (LQR), el filtro el Kalman resuelve el problema de control lineal–cuadrático–gaussiano (LQG). El filtro de Kalman, el regulador lineal-cuadrático y el controlador lineal–cuadrático–gaussiano son soluciones a los problemas más fundamentales de la teoría de control.

En la mayoría de las aplicaciones, el estado interno es más grande (tiene más grados de libertad) que las pocas variables "observables" que se miden. Sin embargo, al combinar una serie de mediciones, el filtro de Kalman puede estimar todo el estado interno.

Para la teoría de Dempster–Shafer, cada ecuación de estado o de observación se considera un caso especial de una función de creencia lineal, y el filtrado de Kalman es una caso especial de la combinación de funciones de creencia lineales en un árbol de unión o árbol de Markov. Métodos adicionales incluyen el filtrado por creencias que utiliza actualizaciones bayesianas o basadas en evidencia para las ecuaciones de estado.

Una gran variedad de filtrados de Kalman existen en la actualidad: La formulación original de Kalman —ahora llamado el filtro de Kalman "simple" —, el filtro de Kalman–Bucy, el filtro "extendido" de Schmidt, el filtro de información, y una variedad de filtros de "raíz cuadrada" que fueron desarrollados por Bierman, Thornton y muchos otros. Quizá el filtro "simple" de Kalman más utilizado sea el bucle de enganche de fase (phase-locked loop, PLL), que ahora es ubicuo en radios, especialmente en radios de modulación de frecuencia (FM), televisores, receptores de comunicaciones satelitales, receptores de comunicaciones satelitales, sistemas de comunicación en el espacio exterior y básicamente cualquier otro equipo electrónico de comunicaciones.

El filtrado de Kalman está basado en sistemas dinámicos lineales discretizados en el dominio del tiempo. Son modelados con una cadena de Markov construida sobre operadores lineales perturbados por errores que pueden incluir ruido gaussiano. El estado del sistema objetivo se refiere a la configuración real del sistema (aunque oculta) de interés, que se representa como un vector de números reales. En cada incremento de tiempo discreto, un operador lineal se aplica al estado actual para generar un estado nuevo, con un poco de ruido mezclado y, opcionalmente, algo de información de los controles del sistema si se conocen. Luego, otro operador lineal mezclado con más ruido genera las salidas medibles (observaciones) a partir del estado verdadero ("oculto").

El filtrado de Kalman puede considerarse análogo al modelo oculto de Markov, con la diferencia de que las variables de estado ocultas tienen valores en un espacio continuo, a diferencia del espacio de estados discretos del modelo oculto de Markov. Hay una analogía fuerte entre las ecuaciones del filtro de Kalman y las del modelo oculto de Markov. Una revisión de este y otros modelos se presenta en Roweis y Ghahramani (1999)^[10]​ y en Hamilton (1994), Capítulo 13.^[11]​

Para usar el filtro de Kalman para estimar el esetado interno de un proceso dado únicamente la secuencia de las observaciones ruidosas, es necesario modelar el proceso de acuerdo al siguiente marco. Esto significa especificar las matrices para cada paso del tiempo ${\displaystyle k}$ , de la siguiente forma:

• ${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$ , el modelo de transición de estado;
• ${\displaystyle \mathbf {H} _{k}}$ , el modelo de observación;
• ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$ , la covarianza del ruido del proceso;
• ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$ , la covarianza del ruido de la observación;
• y a veces ${\displaystyle \mathbf {B} _{k}}$ , el modelo de entrada de control; si se incluye ${\displaystyle \mathbf {B} _{k}}$  entonces también existe
• ${\displaystyle \mathbf {u} _{k}}$ , el vector de control, que representa la entrada de control en el modelo de entrada de control.

Como se observa, es común en muchas aplicaciones que las matrices ${\displaystyle \mathbf {F} }$ , ${\displaystyle \mathbf {H} }$ , ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ , ${\displaystyle \mathbf {R} }$ , y ${\displaystyle \mathbf {B} }$  sean constantes en el tiempo, en cuyo caso se puede omitir el índice ${\displaystyle k}$ .

El modelo del filtro de Kalman asume que el estado verdadero en el tiempo ${\displaystyle k}$  evoluciona desde el estado ${\displaystyle k-1}$  según:

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {F} _{k}\mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {B} _{k}\mathbf {u} _{k}+\mathbf {w} _{k}}$ 

Donde:

• ${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$  es el modelo de transición de estado, que se aplica al estado previo x_k−1;
• ${\displaystyle \mathbf {B} _{k}}$  es el modelo de entrada de control, que se aplica al vector de control ${\displaystyle \mathbf {u} _{k}}$ ;
• ${\displaystyle \mathbf {w} _{k}}$  es el ruido del proceso, que se asume proviene de una distribución normal multivariante con media cero, ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ , y covarianza ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$ : ${\displaystyle \mathbf {w} _{k}\sim {\mathcal {N}}\left(0,\mathbf {Q} _{k}\right)}$ . Si ${\displaystyle \mathbf {Q} }$  es independiente del tiempo, siguiendo a Roweis y Ghahramani,^[10]​ se escribe ${\displaystyle \mathbf {w} _{\bullet }}$  en lugar de ${\displaystyle \mathbf {w} _{k}}$  para enfatizar que el ruido no tiene conocimiento del tiempo.

En el tiempo ${\displaystyle k}$  una observación (o medición) ${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$  del estado verdadero ${\displaystyle \mathbf {x} _{k}}$  según:${\displaystyle \mathbf {z} _{k}=\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k}+\mathbf {v} _{k}}$ Donde:

• ${\displaystyle \mathbf {H} _{k}}$  es el modelo de observación, que mapea el espacio del estado verdadero al espacio observado y
• ${\displaystyle \mathbf {v} _{k}}$  es el ruido de observación, que se asume como ruido blanco gaussiano con media cero y covarianza ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$ : ${\displaystyle \mathbf {v} _{k}\sim {\mathcal {N}}\left(0,\mathbf {R} _{k}\right)}$ .

De forma análoga a ${\displaystyle \mathbf {w} _{k}}$ , se puede escribir ${\displaystyle \mathbf {v} _{\bullet }}$  en lugar de ${\displaystyle \mathbf {v} _{k}}$  si ${\displaystyle \mathbf {R} }$  s independiente del tiempo

El estado inicial y los vectores de ruido en cada paso ${\displaystyle \{\mathbf {x} _{0},\mathbf {w} _{1},\dots ,\mathbf {w} _{k},\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}\}}$  se asumen mutuamente independientes.

Muchos sistemas dinámicos en tiempo real no se ajustan a este modelo. De hecho, la dinámica no modelada puede degradar seriamente el rendimiento del filtro, incluso cuando se supone que debe funcionar con señales estocásticas desconocidas como entradas. La razón es que el efecto de la dinámica no modelada depende de la entrada y, por lo tanto, puede llevar al algoritmo de estimación a la inestabilidad (divergencia). Por otro lado, señales de ruido blanco independientes no harán que el algoritmo diverja. El problema de distinguir entre ruido de medición y dinámica no modelada es complicado y se trata como un problema de teoría de control usando control robusto. ^[12]​^[13]​

El filtro de Kalman es un estimador recursivo. Esto significa que solo se necesita el estado estimado del paso del tiempo anterior y la medición actual para calcular el estado actual. En contraste con las técnicas de medición por lotes, no se necesita historial de las observaciones o estimaciones. En lo que sigue la notación https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3eff5422264edcbe21aed62839528629f28dc6a representa el estimado de ${\displaystyle \mathbf {x} }$  en el tiempo n dadas las observaciones hasta e incluyendo el tiempo m ≤ n.

El estado del filtro está representado por dos variables:

• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$ , la media de la estimación del estado a posteriori en el tiempo k, dadas las observaciones hasta e incluyendo el tiempo k.
• ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$ , la matriz de covarianza de la estimación a posteriori (una medida de la precisión estimada de la estimación del estado).

La estructura del algoritmo del filtro de Kalman es similar a la del filtro alfa-beta. El filtro de Kalman puede ser escrito con una sola ecuación; sin embargo, se suele conceptualizar en dos fases distintas: "Predicción" y "Actualización". La fase de predicción utiliza la estimación del paso de tiempo anterior para producir una estimación del estado en el paso de tiempo actual. Cada estado corresponde a un punto del espacio de estado. Esta predicción del estado estimado también es conocida como estimación del estado a priori porque, aunque es una estimación del estado en el paso de tiempo actual, no incluye información de las observaciones de ese mismo paso. En la fase de actualización la innovación (el residuo previo al ajuste), es decir, la diferencia entre la predicción a priori y la información de observación actual, se multiplica por la ganancia de Kalman óptima y se combina con la estimación previa del estado para refinar la estimación. Esta estimación mejorada basada en la observación actual se denomina estimación del estado a posteriori.

Típicamente ambas fases se alternan, con la predicción avanzando el estado hasta la siguiente observación programada y, la actualización incorporando dicha actualización. Sin embargo, esto no es necesario; si una observación no está disponible por alguna razón, la actualización puede ser saltada y realizar múltiples procedimientos de predicción. De forma similar, si múltiples observaciones independientes están disponibles al mismo tiempo, múltiples procedimientos de actualización pueden ser realizadas (normalmente con diferentes matrices de observación H_k). ^[14]​^[15]​

La fórmula de la covarianza de la estimación actualizada (a posteriori) mostrada arriba es válida para la ganancia óptima K_k que minimiza el error residual, y esta forma es la más utilizada en aplicaciones. La demostración de las fórmulas está en la sección de derivaciones, donde también se encuentra la fórmula válida para cualquier K_k.

Una forma más intuitiva de expresar la estimación del estado actualizado (${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$ ) es:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}=(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}){\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {z} _{k}}$ 

Esta expresión nos recuerda a una interpolación lineal: ${\displaystyle x=(1-t)(a)+t(b)}$  para t entre [0,1]. En nuestro caso:

• t, es la matriz ${\displaystyle \mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}}$  que toma valores desde cero (cuando el sensor tiene mucho error) hasta I o una proyección (cuando el error es bajo).
• a, es el estado interno ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}}$  estimado del modelo.
• b, es el estado interno ${\displaystyle \mathbf {K} _{k}\mathbf {z} _{k}}$  estimado a partir de la medición, suponiendo que ${\displaystyle \mathbf {K} _{k}}$  es no singular.

Esta expresión también se asemeja al paso de actualización del filtro alfa-beta.

SI el modelo es correcto, y los valores de ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{0\mid 0}}$  y ${\displaystyle \mathbf {P} _{0\mid 0}}$  reflejan los valores del estado inicial, entonces se preservan los siguientes invariantes:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}]&=\operatorname {E} [\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}]=0\\\operatorname {E} [{\tilde {\mathbf {y} }}_{k}]&=0\end{aligned}}}$ 

Donde ${\displaystyle \operatorname {E} [\xi ]}$  es el valor esperado de ${\displaystyle \xi }$ . Eso quiere decir que las estimaciones tienen un error medio de cero. Además:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid k}&=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)\\\mathbf {P} _{k\mid k-1}&=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\\\mathbf {S} _{k}&=\operatorname {cov} \left({\tilde {\mathbf {y} }}_{k}\right)\end{aligned}}}$ 

por lo tanto, las matrices de covarianza reflejan con precisión la covarianza de las estimaciones.

la implementación práctica del filtro de Kalman suele ser difícil debido a la dificultad de obtener una buena estimación de las matrices de covarianza del ruido Q_k y R_k. Se han realizado varias investigaciones para estimar estas covarianzas de los datos. Un método práctico para realizar esto es la técnica de mínimos cuadrados con autocovarianza (ALS) esta técnica usa autocovarianzas con retardo temporal de datos de operación rutinaria para estimar las covarianzas. ^[16]​^[17]​ El código en GNU Octave y Matlab para calcular las matrices de covarianza del ruido utilizando la técnica ALS está disponible en línea bajo la Licencia Pública General GNU (GPL).^[18]​

Se ha propuesto el Filtro de Kalman de Campo (FKF), un algoritmo bayesiano que permite la estimación simultánea del estado, parámetros y covarianza del ruido. ^[19]​ El algoritmo FKF tiene una formulación recursiva buena, convergencia observada y una complejidad relativamente baja, lo que sugiere que puede ser una alternativa valiosa a los métodos ALS. Otro enfoque es el filtro de Kalman optimizado (OKF) que considera las matices de covarianza no como representaciones del ruido, sino como parámetros destinados a lograr la estimación más precisa del estado. Ambas perspectivas coinciden bajo los supuestos del KF, pero a veces se contradicen bajo los supuestos del KF. Por lo tanto, la estimación de estados mediante OKF resulta más robusta frente a inexactitudes en el modelado.

El filtro de Kalman provee una estimación de estado óptima en casos donde a) el modelo coincide perfectamente con el sistema real, b) el ruido de entrada es "blanco" (no correlacionado), y c) las covarianzas del ruido son conocidas exactamente. El ruido correlacionado también puede ser tratado con el filtro de Kalman ^[20]​ Se han propuesto varios métodos para la estimación de las covarianzas del ruido en las últimas décadas, incluido ALS mencionado en la sección anterior. De forma general, si los supuestos del modelo no coinciden con el sistema real perfectamente, la estimación óptima del estado no se obtiene necesariamente fijando Q_k y R_k a las covarianzas del ruido. En ese caso, los parámetros Q_k y R_k pueden ajustarse de forma explícita para optimizar la estimación del estado, por ejemplo, usando aprendizaje supervisado estándar.

Después de establecer las covarianzas, es útil evaluar el rendimiento del filtro; es decir, si es posible mejorar la calidad de la estimación del estado. Si el filtro de Kalman trabaja de forma óptima, la secuencia de innovación (el error de predicción de la salida) es ruido blanco; por lo tanto, la propiedad de blancura de las innovaciones mide el rendimiento del filtro. se pueden usar diferentes métodos para este propósito.^[21]​ Si los términos de ruido se distribuyen de manera no gaussiana, se conocen en la literatura métodos para evaluar el rendimiento de la estimación del filtro basados en desigualdades de probabilidad o en la teoría de muestras grandes.^[22]​^[23]​

Considere un camión en rieles rectos sin fricción. Inicialmente el camión esta detenido en la posición 0, pero es sacudido de un lado a otro por fuerzas aleatorias e incontroladas. La posición del camión se mide cada Δt segundos, pero esas medidas son imprecisas; queremos mantener un modelo de la posición velocidad del camión. Aquí se muestra como se deriva el modelo el cual se crea el filtro de Kalman.

Dado que ${\displaystyle \mathbf {F} ,\mathbf {H} ,\mathbf {R} ,\mathbf {Q} }$  son constantes, se omiten sus índices de tiempo.

La posición y velocidad el camión se describen mediante el espacio de estados lineal:

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}={\begin{bmatrix}x\\{\dot {x}}\end{bmatrix}}}$ 

Donde ${\displaystyle {\dot {x}}}$  es la velocidad, es decir, la derivada de la posición con respecto al tiempo.

Asumimos que entre los pasos de tiempo (k − 1) y k fuerzas incontrolables causan la aceleración constante de a_k que es normalmente distribuida con media 0 y derivación estándar σ_a. A partir de las leyes de Newton, concluimos que:

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {F} \mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {G} a_{k}}$ 

(no hay un término ${\displaystyle \mathbf {B} u}$  ya que no existen entradas de control conocidas. En su lugar, a_k es el efecto de una entrada desconocida y${\displaystyle \mathbf {G} }$  aplica ese efecto al vector de estados) donde.....

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &={\begin{bmatrix}1&\Delta t\\0&1\end{bmatrix}}\\[4pt]\mathbf {G} &={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}{\Delta t}^{2}\\[6pt]\Delta t\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$ 

de modo que

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {F} \mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {w} _{k}}$ 

donde

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {w} _{k}&\sim N(0,\mathbf {Q} )\\\mathbf {Q} &=\mathbf {G} \mathbf {G} ^{\textsf {T}}\sigma _{a}^{2}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{4}}{\Delta t}^{4}&{\frac {1}{2}}{\Delta t}^{3}\\[6pt]{\frac {1}{2}}{\Delta t}^{3}&{\Delta t}^{2}\end{bmatrix}}\sigma _{a}^{2}.\end{aligned}}}$ 

La matriz ${\displaystyle \mathbf {Q} }$  no tiene rango completo (su rango es uno si ${\displaystyle \Delta t\neq 0}$ ). Por lo tanto la distribución ${\displaystyle N(0,\mathbf {Q} )}$  no es absolutamente continua y no tiene función de densidad de probabilidad. Otra forma de expresarlo, evitando distribuciones degeneradas explícitas, es:

${\displaystyle \mathbf {w} _{k}\sim \mathbf {G} \cdot N\left(0,\sigma _{a}^{2}\right).}$ 

En cada fase de tiempo, se realiza una medición ruidosa de la posición verdadera del camión. Supongamos que el ruido de medición v_k también se distribuye normalmente, con media 0 y desviación estándar σ_z.

${\displaystyle \mathbf {z} _{k}=\mathbf {Hx} _{k}+\mathbf {v} _{k}}$ 

donde

${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}}$ 

y

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathrm {E} \left[\mathbf {v} _{k}\mathbf {v} _{k}^{\textsf {T}}\right]={\begin{bmatrix}\sigma _{z}^{2}\end{bmatrix}}}$ 

Conocemos el estado inicial del camión con perfecta posición, por lo que inicializamos:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{0\mid 0}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}$ 

y para indicarle al filtro que conocemos la posición y velocidad exacta le damos una matriz de covarianza nula:

${\displaystyle \mathbf {P} _{0\mid 0}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}}$ 

Si la posición inicial y la velocidad no son conocidas perfectamente, la matriz de covarianza debe inicializarse con varianzas apropiadas en su diagonal:${\displaystyle \mathbf {P} _{0\mid 0}={\begin{bmatrix}\sigma _{x}^{2}&0\\0&\sigma _{\dot {x}}^{2}\end{bmatrix}}}$ El filtro preferirá la información de las primeras medidas sobre la información ya presente en el modelo.

Para simplificar, asuma que la entrada de control ${\displaystyle \mathbf {u} _{k}=\mathbf {0} }$ . Luego el filtro de Kalman puede escribirse como:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}=\mathbf {F} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}[\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} _{k}\mathbf {F} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}].}$ 

Una ecuación similar se cumple si incluimos una entrada de control no nula. Las matrices de ganancia ${\displaystyle \mathbf {K} _{k}}$  y las matrices de covarianza ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$  evolucionan independientemente de las medidas ${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$ . A partir de lo anterior, las cuatro ecuaciones necesarias para actualizar las matrices son:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid k-1}&=\mathbf {F} _{k}\mathbf {P} _{k-1\mid k-1}\mathbf {F} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} _{k},\\\mathbf {S} _{k}&=\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {R} _{k},\\\mathbf {K} _{k}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1},\\\mathbf {P} _{k|k}&=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k|k-1}.\end{aligned}}}$ 

Como estas dependen solamente del modelo y no de las medidas, pueden computarse fuera de línea. La convergencia de las matrices de ganancia ${\displaystyle \mathbf {K} _{k}}$  hacia una matriz asintótica ${\displaystyle \mathbf {K} _{\infty }}$  se aplica bajo las condiciones establecidas por Walrand y Dimakis.^[24]​ Si la serie ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$  converge, entonces converge de forma exponencial hacia una ${\displaystyle \mathbf {P} _{\infty }}$  asintótica, asumiendo ruido no nulo en la planta. ^[25]​ Análisis recientes han mostrado que la tasa y la naturaleza de esta convergencia pueden involucrar múltiples modos coiguales, incluyendo componentes oscilatorios, dependiendo de la estructura de autovalores (eigenestructura) del Jacobiano del mapeo de Riccati anterior evaluado en ${\displaystyle \mathbf {P} _{\infty }}$ .^[26]​ Para el ejemplo del camión en movimiento descrito arriba, con ${\displaystyle \Delta t=1}$  y ${\displaystyle \sigma _{a}^{2}=\sigma _{z}^{2}=\sigma _{x}^{2}=\sigma _{\dot {x}}^{2}=1}$ , la simulación muestra convergencia en 10 iteraciones.

Usando la ganancia asintótica, y asumiendo que ${\displaystyle \mathbf {H} _{k}}$  y ${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$  son independientes de ${\displaystyle k}$ , el filtro de Kalman convierte en un filtro lineal invariante en el tiempo:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k}=\mathbf {F} {\hat {\mathbf {x} }}_{k-1}+\mathbf {K} _{\infty }[\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} \mathbf {F} {\hat {\mathbf {x} }}_{k-1}].}$ 

La ganancia asintótica ${\displaystyle \mathbf {K} _{\infty }}$ , si existe, puede computarse primero resolviendo la siguiente ecuación de Riccati discreta para la covarianza de estado asintótica P∞: ^[24]​

${\displaystyle \mathbf {P} _{\infty }=\mathbf {F} \left(\mathbf {P} _{\infty }-\mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {H} \mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}+\mathbf {R} \right)^{-1}\mathbf {H} \mathbf {P} _{\infty }\right)\mathbf {F} ^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} .}$ 

La ganancia asintótica se calcula como antes:${\displaystyle \mathbf {K} _{\infty }=\mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {R} +\mathbf {H} \mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\right)^{-1}.}$ Adicionalmente, una forma del filtro de Kalman asintótico más común en teoría de control se da por

${\displaystyle {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k+1}=\mathbf {F} {\hat {\mathbf {x} }}_{k}+\mathbf {B} \mathbf {u} _{k}+\mathbf {\overline {K}} _{\infty }[\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} {\hat {\mathbf {x} }}_{k}],}}$ 

donde

${\displaystyle {\overline {\mathbf {K} }}_{\infty }=\mathbf {F} \mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {R} +\mathbf {H} \mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\right)^{-1}.}$ 

Esto conduce a un estimador de la forma

${\displaystyle {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k+1}=(\mathbf {F} -{\overline {\mathbf {K} }}_{\infty }\mathbf {H} ){\hat {\mathbf {x} }}_{k}+\mathbf {B} \mathbf {u} _{k}+\mathbf {\overline {K}} _{\infty }\mathbf {z} _{k},}}$ 

El filtro de Kalman puede ser derivado como un método de mínimos cuadrados generalizados que opera sobre datos previos.^[27]​

Comenzando con nuestra invariante en la covarianza del error P_k | k como se indicó abajo:

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)}$ 

se sustituye en la definición de ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$ 

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left[\mathbf {x} _{k}-\left({\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}{\tilde {\mathbf {y} }}_{k}\right)\right]}$ 

y se sustituye

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-\left[{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}\left(\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\right]\right)}$ 

junto con ${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$ 

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-\left[{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k}+\mathbf {v} _{k}-\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\right]\right)}$ 

y juntando los vectores de error obtenemos:

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left[\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)-\mathbf {K} _{k}\mathbf {v} _{k}\right]}$ 

Cómo el error de medición v_k es incorrelacionado con los otros términos, esto se convierte en:

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left[\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\right]+\operatorname {cov} \left[\mathbf {K} _{k}\mathbf {v} _{k}\right]}$ 

por las propiedades de la covarianza de los vectores, esto se convierte en:

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\operatorname {cov} \left(\mathbf {v} _{k}\right)\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$ 

lo cual, usando la intervariante en P_k | k−1 y la definición de R_k se convierte en:

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k\mid k-1}\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {R} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$ 

Ésta fórmula (a veces conocida como la forma de Joseph de la ecuación de actualización de la covarianza) es válida para cualquier valor de K_k. Resulta que si K_k es la ganancia óptima de Kalman, esto puede simplificarse aún más como se muestra abajo.

El filtro de Kalman es un estimador de error cuadrático medio mínimo (MMSE). El error en la estimación del estado a posteriori es:

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$ 

Buscamos minimizar el valor del cuadrado de la magnitud del vector, ${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left\|\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k|k}\right\|^{2}\right]}$ . Esto es equivalente a minimizar la traza de la matriz de covarianza de la estimación a posteriori ${\displaystyle \mathbf {P} _{k|k}}$ . Al expandir los términos en la ecuación anterior y agrupar, obtenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid k}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {R} _{k}\right)\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}\\[6pt]&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}\end{aligned}}}$ 

La traza se minimiza cuando su derivada matricial con respecto a la matriz de ganancia es cero. Usando las reglas de gradiente matricial y la simetría de las matrices involucradas, encontramos que:

${\displaystyle {\frac {\partial \;\operatorname {tr} (\mathbf {P} _{k\mid k})}{\partial \;\mathbf {K} _{k}}}=-2\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\right)^{\textsf {T}}+2\mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}=0.}$ 

Resolviendo esto para K_k obtenemos la ganancia de Kalman:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}&=\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\right)^{\textsf {T}}=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\\\Rightarrow \mathbf {K} _{k}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1}\end{aligned}}}$ 

Esta ganancia, conocida como la ganancia de Kalman óptima, es la que produce estimaciones MMSE cuando se utiliza.

La fórmula utilizada para calcular la covarianza del error a posteriori puede simplificarse cuando la ganancia de Kalman es igual al valor óptimo derivado anteriormente. Multiplicando ambos lados de nuestra fórmula de ganancia de Kalman a la derecha por S_kK_k^T, se sigue que:

${\displaystyle \mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$ 

Refiriéndonos a la fórmula expandida para la covarianza del error a posteriori,

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$ 

encontramos que los últimos dos términos se cancelan, dando:

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}=(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k})\mathbf {P} _{k\mid k-1}}$ 

Esta fórmula es computacionalmente más barata y por ello casi siempre se usa en la práctica, pero solo es correcta para la ganancia óptima. Si la precisión aritmética es inusualmente baja causando problemas de estabilidad numérica, o si se utiliza deliberadamente una ganancia de Kalman no óptima, no puede aplicarse esta simplificación; en ese caso debe usarse la fórmula de la covarianza del error a posteriori derivada anteriormente (forma de Joseph).

Las ecuaciones del filtrado de Kalman proveen un estimado del estado ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$  y su covarianza de error ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$  de forma recursiva. El estimado y su calidad dependen de los parámetros del sistema y de las estadísticas del ruido que se introducen como entradas al estimador. Esta sección analiza el efecto de las incertidumbres en las entradas estadísticas del filtro.^[28]​ En ausencia de estadísticas confiables o de los valores reales de las matrices de covarianza de ruido ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$  y ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$ , la expresión:

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k\mid k-1}\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {R} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$ 

ya no proporciona la covarianza de error real. En otras palabras: ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}\neq E\left[\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)^{\textsf {T}}\right]}$ . En la mayoría de las aplicaciones de tiempo real las matrices de covarianza que son usadas en el diseño del filtro de Kalman son distintas a las matrices de covarianza de ruido reales (verdaderas). Este análisis de sensibilidad describe el comportamiento de la covarianza del error de estimación cuando las covarianzas del ruido, así como las matrices del sistema ${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$  y ${\displaystyle \mathbf {H} _{k}}$  que se introducen al filtro, son incorrectas. Así, el análisis de sensibilidad describe la robustez (o sensibilidad) del estimador ante entradas estadísticas y paramétricas mal especificadas.

Esta discusión se limita al análisis de sensibilidad para el caso de incertidumbres estáticas. Esta discusión se limita al análisis de sensibilidad para el caso de incertidumbres estáticas. Aquí las covarianzas reales del ruido son denotadas por ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}^{a}}$  y ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}^{a}}$  respectivamente, mientras que los valores de diseño usados en el estimador son ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$  y ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$  respectivamente. La covarianza de error real se denota por ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}}$  y, tal como se calcula en el filtro de Kalman, se denomina la variable de Riccati. Cuando ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}\equiv \mathbf {Q} _{k}^{a}}$  y ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}\equiv \mathbf {R} _{k}^{a}}$ , significa que ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}\equiv \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}}$ . Al calcular la covarianza de error real usando ${\displaystyle \mathbf {P} }$ , sustituyendo ${\displaystyle \mathbf {K} _{k}}$  y usando el hecho de que ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k})\mathbf {P} _{k\mid k-1}}$  y ${\displaystyle \mathbf {K} _{k}=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{T}(\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{T}+\mathbf {R} _{k})^{-1}}$ , se obtienen las siguientes ecuaciones recursivas para ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}}$ :

$${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k-1}^{a}=\mathbf {F} _{k}\mathbf {P} _{k-1\mid k-1}^{a}\mathbf {F} _{k}^{T}+\mathbf {Q} _{k}^{a}}$$ 

y

$${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}=(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}^{a}\mathbf {H} _{k})\mathbf {P} _{k\mid k-1}^{a}}$$ 

Mientras se calcula ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$ , por diseño el filtro se asume de forma implícita que ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}\equiv \mathbf {Q} _{k}^{a}}$  y ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}\equiv \mathbf {R} _{k}^{a}}$ . Las expresiones recursivas para ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}}$  y ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$  son idénticas, excepto por la presencia de ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}^{a}}$  y ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}^{a}}$  en lugar de los valores de diseño, respectivamente. Se han realizado investigaciones para analizar la robustez de los sistemas con filtro de Kalman.^[29]​

Un problema del filtro de Kalman es su estabilidad numérica. Si la covarianza del ruido del proceso Q_k es pequeña, los errores de redondeo suelen provocar que un autovalor positivo pequeño de la matriz de covarianza del estado P se calcule como un número negativo. Esto hace que la representación numérica P sea indefinida, mientras que su forma verdadera es definida positiva.

Las matrices definidas positivas tienen la propiedad de que se pueden factorizar como el producto de una matriz triangular inferior no singular S y su transpuesta: P = S·S^T . El factor S puede calcularse de forma eficiente utilizando el algoritmo de factorización de Cholesky. Esta forma de producto de la matriz de covarianza P es garantizada como simétrica, y para todo 1 <= k <= n, el elemnto diagonal P_kk es igual a la norma euclidiana de la k-ésima fila de S, lo cual es necesariamente positivo. Una forma equivalente, que evita muchas de las operaciones de raíz cuadrada en el algoritmo de factorización de Cholesky, pero que conserva las propiedades numéricas deseables, es la descomposición U-D: P = U·D·U^T, donde U es una matriz triangular unitaria (con diagonal unitaria) y D es una matriz diagonal.

Entre ambas, la factorización U-D utiliza la misma cantidad de almacenamiento y algo menos de cómputo y es la factorización triangular más usada. (La literatura temprana sobre la eficiencia relativa es algo engañosa, ya que asumía que las raíces cuadradas eran mucho más costosas en tiempo que las divisiones,^[30]​ mientras que en las computadoras del siglo XXI son solo ligeramente más costosas).

Algoritmos eficientes para los pasos de predicción y actualización del filtro de Kalman en forma factorizada fueron desarrollados por G. J. Bierman y C. L. Thornton.^[31]​^[30]​

La descomposición L·D·L^Tde la matriz de covarianza de la innovación S_k es la base de otro filtro de raíz cuadrada, numéricamente eficiente y robusto.^[32]​ El algoritmo comienza con la descomposición LU tal como está implementada en el Linear Algebra PACKage (LAPACK). Estos resultados se factorizan aún más en la estructura L·D·L^T con los métodos dados por Golub y Van Loan (algoritmo 4.1.2) para una matriz simétrica no singular.^[33]​ Cualquier matriz de covarianza singular se pivotea de forma que la primera partición diagonal sea no singular y bien condicionada. El algoritmo de pivoteo debe retener cualquier porción de la matriz de covarianza de innovación que corresponda directamente a las variables de estado observadas H_k·x_k|k-1 las cuales están asociadas con observaciones auxiliares en y_k.

El filtro de raíz cuadrada l·d·l^t requiere la ortogonalización del vector de observación.^[32]​^[31]​ Esto puede hacerse con la inversa de la raíz cuadrada de la matriz de covarianza de las variables auxiliares usando el Método 2 en Higham (2002, p. 263). ^[34]​

El filtro de Kalman es eficiente para el procesamiento secuencial de datos en unidades centrales de procesamiento (CPUs),pero en su forma original es poco eficiente en arquitecturas paralelas como las unidades de procesamiento gráfico (GPUs). Sin embargo, es posible expresar la rutina de actualización del filtro en términos de un operador asociativo usando la formulación de Särkkä y García-Fernández (2021).^[35]​ La solución del filtro puede recuperarse entonces mediante el uso de un algoritmo de suma prefija, el cual puede implementarse de manera eficiente en una GPU. ^[36]​ Esto reduce la complejidad computacional de ${\displaystyle O(N)}$  en el número de pasos temporales a ${\displaystyle O(\log(N))}$ .

El filtro de Kalman puede ser presentado como una de las redes bayesianas dinámicas más simples. El filtro calcula estimados de los valores reales de los estados de forma recursiva en el tiempo usando mediciones entrantes y un modelo matemático del proceso. De forma similar, la estimación bayesiana recursiva calcula estimaciones de una función de densidad de probabilidad (PDF) desconocida recursivamente en el tiempo utilizando mediciones entrantes y un modelo matemático del proceso. ^[37]​

En la estimación recursiva bayesiana se asume que el estado verdadero es un proceso de Márkov no observado, y que las mediciones son los estados observados de un modelo oculto de Márkov (HMM).

Gracias a la suposición de Márkov , el estado verdadero es condicionalmente independiente de todos los estados anteriores dado el estado inmediatamente previo:

${\displaystyle p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{0},\dots ,\mathbf {x} _{k-1})=p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1})}$ 

De forma similar, la medición en el instante de tiempo k depende solo del estado actual y es condicionalmente independiente de todos los demás estados dado el estado actual:

${\displaystyle p(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{0},\dots ,\mathbf {x} _{k})=p(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k})}$ 

Usando estas suposiciones, la probabilidad de distribución sobre todos los estados del modelo oculto de Márkov puede escribirse simplemente como:

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{0},\dots ,\mathbf {x} _{k},\mathbf {z} _{1},\dots ,\mathbf {z} _{k}\right)=p\left(\mathbf {x} _{0}\right)\prod _{i=1}^{k}p\left(\mathbf {z} _{i}\mid \mathbf {x} _{i}\right)p\left(\mathbf {x} _{i}\mid \mathbf {x} _{i-1}\right)}$ 

Sin embargo, cuando se usa el filtro de Kalman para estimar el estado x , la probabilidad de distribución de interés es aquella asociada con los estados actuales condicionados a las mediciones hasta el instante actual. Esto se logra al marginalizar los estados previos y dividir entre la probabilidad del conjunto de mediciones.

Estos resultados en las fases de predicción y actualización del filtro de Kalman escritas de manera probabilística. La distribución de probabilidad asociada con el estado predicho es la suma (integral) de los productos de la distribución de probabilidad asociada con la transición del instante (k − 1) al k y la probabilidad asociada con el estado anterior, sobre todas las posibles ${\displaystyle x_{k-1}}$ .

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)=\int p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1}\right)p\left(\mathbf {x} _{k-1}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)\,d\mathbf {x} _{k-1}}$ 

donde el conjunto de mediciones hasta el tiempo t es

${\displaystyle \mathbf {Z} _{t}=\left\{\mathbf {z} _{1},\dots ,\mathbf {z} _{t}\right\}}$ 

La distribución de la probabilidad de la actualización es proporcional al producto de la verosimilitud de la medición y el estado predicho:

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k}\right)={\frac {p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)}{p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)}}}$ 

El denominador

${\displaystyle p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)=\int p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)\,d\mathbf {x} _{k}}$ 

es un término de normalización.

Las funciones de densidad de probabilidad restantes son:

${\displaystyle {\begin{aligned}p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1}\right)&={\mathcal {N}}\left(\mathbf {F} _{k}\mathbf {x} _{k-1},\mathbf {Q} _{k}\right)\\p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)&={\mathcal {N}}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k},\mathbf {R} _{k}\right)\\p\left(\mathbf {x} _{k-1}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)&={\mathcal {N}}\left({\hat {\mathbf {x} }}_{k-1},\mathbf {P} _{k-1}\right)\end{aligned}}}$ 

La PDF en el instante de tiempo anterior se asume inductivamente como el estado estimado y la covarianza. Esto se justifica porque, al ser un estimador óptimo, el filtro de Kalman hace el mejor uso posible de las mediciones; por lo tanto, la PDF de ${\displaystyle \mathbf {x} _{k}}$  dado el conjunto de mediciones ${\displaystyle \mathbf {Z} _{k}}$  corresponde a la estimación del filtro de Kalman.

Relacionado con la interpretación bayesiana recursiva descrita anteriormente, el filtro de Kalman puede considerarse un modelo generativo, es decir, un proceso para generar una secuencia de observaciones aleatorias z = (z₀, z₁, z₂, ...). Específicamente, el proceso es:

1. Tomar una muestra de un estado oculto ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$  de la distribución previa gaussiana ${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{0}\right)={\mathcal {N}}\left({\hat {\mathbf {x} }}_{0\mid 0},\mathbf {P} _{0\mid 0}\right)}$ .
2. Tomar una muestra de una observación ${\displaystyle \mathbf {z} _{0}}$  del modelo de observación ${\displaystyle p\left(\mathbf {z} _{0}\mid \mathbf {x} _{0}\right)={\mathcal {N}}\left(\mathbf {H} _{0}\mathbf {x} _{0},\mathbf {R} _{0}\right)}$ .
3. Para ${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$ , hacer:
   1. Tomar una muestra del siguiente estado oculto ${\displaystyle \mathbf {x} _{k}}$  del modelo de transición ${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1}\right)={\mathcal {N}}\left(\mathbf {F} _{k}\mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {B} _{k}\mathbf {u} _{k},\mathbf {Q} _{k}\right).}$ 
   2. Tomar una muestra de una observación ${\displaystyle \mathbf {z} _{0}}$  del modelo de observación ${\displaystyle p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)={\mathcal {N}}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k},\mathbf {R} _{k}\right).}$ 

Este proceso tiene una estructura idéntica a la de un modelo oculto de Markov, excepto que el estado discreto y las observaciones se reemplazan por variables continuas muestreadas de distribuciones gaussianas.

En algunas aplicaciones, es útil calcular la probabilidad de que un filtro de Kalman con un conjunto dado de parámetros (distribución previa, modelos de transición y observación, y entradas de control) genere una señal observada particular. Esta probabilidad se conoce como verosimilitud marginal porque integra (“marginaliza”) los valores de las variables de estado oculto, de modo que puede calcularse usando únicamente la señal observada. La verosimilitud marginal puede ser útil para evaluar diferentes elecciones de parámetros o para comparar el filtro de Kalman con otros modelos mediante comparación bayesiana de modelos.

Es sencillo calcular la verosimilitud marginal como un efecto secundario del cálculo de filtrado recursivo. Según la regla de la cadena, la verosimilitud puede factorizarse como el producto de la probabilidad de cada observación dado las observaciones anteriores,

${\displaystyle p(\mathbf {z} )=\prod _{k=0}^{T}p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {z} _{k-1},\ldots ,\mathbf {z} _{0}\right)}$ ,

y como el filtro de Kalman describe un proceso de Markov, toda la información relevante de observaciones anteriores está contenida en la estimación actual del estado ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {P} _{k\mid k-1}.}$  Así, la verosimilitud marginal se expresa como

${\displaystyle {\begin{aligned}p(\mathbf {z} )&=\prod _{k=0}^{T}\int p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {z} _{k-1},\ldots ,\mathbf {z} _{0}\right)d\mathbf {x} _{k}\\&=\prod _{k=0}^{T}\int {\mathcal {N}}\left(\mathbf {z} _{k};\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k},\mathbf {R} _{k}\right){\mathcal {N}}\left(\mathbf {x} _{k};{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {P} _{k\mid k-1}\right)d\mathbf {x} _{k}\\&=\prod _{k=0}^{T}{\mathcal {N}}\left(\mathbf {z} _{k};\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {R} _{k}+\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\right)\\&=\prod _{k=0}^{T}{\mathcal {N}}\left(\mathbf {z} _{k};\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {S} _{k}\right),\end{aligned}}}$ 

es decir, un producto de densidades gaussianas, cada una correspondiente a la densidad de una observación z_k bajo la distribución de filtrado actual ${\displaystyle \mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {S} _{k}}$ . Esto puede calcularse fácilmente como una actualización recursiva simple; sin embargo, para evitar problemas de subdesbordamiento numérico, en una implementación práctica generalmente es deseable calcular la log-verosimilitud marginal ${\displaystyle \ell =\log p(\mathbf {z} )}$ . Adoptando la convención ${\displaystyle \ell ^{(-1)}=0}$ , esto puede hacerse mediante la regla de actualización recursiva

${\displaystyle \ell ^{(k)}=\ell ^{(k-1)}-{\frac {1}{2}}\left({\tilde {\mathbf {y} }}_{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1}{\tilde {\mathbf {y} }}_{k}+\log \left|\mathbf {S} _{k}\right|+d_{y}\log 2\pi \right),}$ 

donde ${\displaystyle d_{y}}$  es la dimensión del vector de medición. ^[38]​

Una aplicación importante donde se utiliza dicha verosimilitud (logarítmica) de las observaciones (dado los parámetros del filtro) es el seguimiento de múltiples objetivos. Por ejemplo, considere un escenario de seguimiento de objetos donde la secuencia de observaciones es la entrada; sin embargo, se desconoce cuántos objetos hay en la escena (o se sabe que hay más de uno). En tal escenario, puede desconocerse a priori qué observaciones/mediciones fueron generadas por cada objeto. Un rastreador de hipótesis múltiples (MHT) típicamente formará diferentes hipótesis de asociación de trayectorias, donde cada hipótesis puede considerarse un filtro de Kalman (en el caso lineal gaussiano) con un conjunto específico de parámetros asociado al objeto hipotético. Por lo tanto, es importante calcular la verosimilitud de las observaciones para las diferentes hipótesis en consideración, de modo que se pueda identificar la más probable.

En los casos donde la dimensión del vector de observación y es mayor que la dimensión del vector del espacio de estados x, el filtro de información puede evitar la inversión de una matriz más grande en el cálculo de la ganancia de Kalman, a costa de invertir una matriz más pequeña en el paso de predicción, ahorrando así tiempo de cómputo. Adicionalmente, el filtro de información permite la inicialización de la información del sistema de acuerdo con ${\displaystyle {I_{1|0}=P_{1|0}^{-1}=0}}$ , lo cual no sería posible para el filtro de Kalman regular. ^[39]​En el filtro de información, o filtro de covarianza inversa, la covarianza estimada y el estado estimado son reemplazados por la matriz de información y el vector de información, respectivamente. Estos se definen como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{k\mid k}&=\mathbf {P} _{k\mid k}^{-1}\\{\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k}&=\mathbf {P} _{k\mid k}^{-1}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\end{aligned}}}$ 

De manera similar, la covarianza y el estado predichos tienen formas equivalentes de información, definidas como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{k\mid k-1}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}^{-1}\\{\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k-1}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}^{-1}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\end{aligned}}}$ 

Y la covarianza de la medición y el vector de medición se definen como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {I} _{k}&=\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {R} _{k}^{-1}\mathbf {H} _{k}\\\mathbf {i} _{k}&=\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {R} _{k}^{-1}\mathbf {z} _{k}\end{aligned}}}$ 

La actualización de información ahora se convierte en una suma trivial: ^[40]​

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{k\mid k}&=\mathbf {Y} _{k\mid k-1}+\mathbf {I} _{k}\\{\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k}&={\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {i} _{k}\end{aligned}}}$ 

La principal ventaja del filtro de información es que N mediciones pueden filtrarse en cada paso de tiempo simplemente sumando sus matrices y vectores de información:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{k\mid k}&=\mathbf {Y} _{k\mid k-1}+\sum _{j=1}^{N}\mathbf {I} _{k,j}\\{\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k}&={\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k-1}+\sum _{j=1}^{N}\mathbf {i} _{k,j}\end{aligned}}}$ 

Para predecir con el filtro de información, la matriz y el vector de información pueden convertirse nuevamente a sus equivalentes en el espacio de estados, o alternativamente puede utilizarse la predicción en el espacio de información:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} _{k}&=\left[\mathbf {F} _{k}^{-1}\right]^{\textsf {T}}\mathbf {Y} _{k-1\mid k-1}\mathbf {F} _{k}^{-1}\\\mathbf {C} _{k}&=\mathbf {M} _{k}\left[\mathbf {M} _{k}+\mathbf {Q} _{k}^{-1}\right]^{-1}\\\mathbf {L} _{k}&=\mathbf {I} -\mathbf {C} _{k}\\\mathbf {Y} _{k\mid k-1}&=\mathbf {L} _{k}\mathbf {M} _{k}+\mathbf {C} _{k}\mathbf {Q} _{k}^{-1}\mathbf {C} _{k}^{\textsf {T}}\\{\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k-1}&=\mathbf {L} _{k}\left[\mathbf {F} _{k}^{-1}\right]^{\textsf {T}}{\hat {\mathbf {y} }}_{k-1\mid k-1}\end{aligned}}}$ 

El suavizador [optimo de retardo fijo proporciona la estimación óptima de ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k-N\mid k}}$  para un retardo fijo N dado, usando las mediciones de ${\displaystyle \mathbf {z} _{1}}$  a ${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$ .^[41]​ Esto se puede derivar usando la teoría previa mediante un estado aumentado, y la ecuación principal del filtro es la siguiente:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\hat {\mathbf {x} }}_{t\mid t}\\{\hat {\mathbf {x} }}_{t-1\mid t}\\\vdots \\{\hat {\mathbf {x} }}_{t-N+1\mid t}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {I} \\0\\\vdots \\0\\\end{bmatrix}}{\hat {\mathbf {x} }}_{t\mid t-1}+{\begin{bmatrix}0&\ldots &0\\\mathbf {I} &0&\vdots \\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &\mathbf {I} \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\hat {\mathbf {x} }}_{t-1\mid t-1}\\{\hat {\mathbf {x} }}_{t-2\mid t-1}\\\vdots \\{\hat {\mathbf {x} }}_{t-N+1\mid t-1}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\mathbf {K} ^{(0)}\\\mathbf {K} ^{(1)}\\\vdots \\\mathbf {K} ^{(N-1)}\\\end{bmatrix}}\mathbf {y} _{t\mid t-1}}$