Un espacio vectorial preordenado ${\displaystyle (X,\leq )}$  con una unidad de orden ${\displaystyle u}$  está preordenado arquimedianamente si y solo si ${\displaystyle nx\leq u}$  para todos los números enteros no negativos ${\displaystyle n}$  implica que ${\displaystyle x\leq 0.}$ ^[3]​

Sea ${\displaystyle X}$  un espacio vectorial ordenado de dimensión finita sobre los números reales. Entonces, el orden de ${\displaystyle X}$  es de Arquímedes si y solo si el cono positivo de ${\displaystyle X}$  está cerrado para la topología única bajo la cual ${\displaystyle X}$  es un espacio vectorial topológico de Hausdorff.^[4]​

Supóngase que ${\displaystyle (X,\leq )}$  es un espacio vectorial ordenado sobre los números reales con una unidad de orden ${\displaystyle u}$  cuyo orden es de Arquímedes, y sea ${\displaystyle U=[-u,u].}$  Entonces, el funcional de Minkowski ${\displaystyle p_{U}}$  de ${\displaystyle U}$  (definido por ${\displaystyle p_{U}(x):=\inf \left\{r>0:x\in r[-u,u]\right\}}$ ) es una norma llamada norma de unidad de orden, que satisface que ${\displaystyle p_{U}(u)=1}$  y que la bola unitaria cerrada determinada por ${\displaystyle p_{U}}$  es igual a ${\displaystyle [-u,u]}$  (es decir, ${\displaystyle [-u,u]=\{x\in X:p_{U}(x)\leq 1\}.}$ ^[3]​

• El espacio ${\displaystyle l_{\infty }(S,\mathbb {R} )}$  de aplicaciones acotadas de valores reales en un conjunto ${\displaystyle S}$  con orden puntual está ordenado arquimedianamente con una unidad de orden ${\displaystyle u:=1}$  (es decir, la función que es idénticamente ${\displaystyle 1}$  en ${\displaystyle S}$ ). La norma de unidad de orden en ${\displaystyle l_{\infty }(S,\mathbb {R} )}$  es idéntica a la norma del supremo habitual: ${\displaystyle \|f\|:=\sup _{}|f(S)|.}$ ^[3]​

• Cada espacio de Riesz con orden completo está ordenado por arquimedianamente.^[5]​
• Una red vectorial de dimensión finita de dimensión ${\displaystyle n}$  tiene el orden de Arquímedes si y solo si es isomorfa a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  con su orden canónico.^[5]​
• Sin embargo, un orden vectorial totalmente ordenado de dimensión ${\displaystyle \,>1}$  no puede ser un orden de Arquímedes.^[5]​
• También existen espacios vectoriales ordenados que son casi de Arquímedes pero no de Arquímedes.
• El Espacio euclídeo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$  sobre los números reales con el orden lexicográfico no está ordenado arquimedianamente, dado que ${\displaystyle r(0,1)\leq (1,1)}$  para cada ${\displaystyle r>0}$ , pero ${\displaystyle (0,1)\neq (0,0).}$ ^[3]​

• Axioma de Arquímedes
• Espacio vectorial ordenado

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834. 
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.