En matemáticas, la desigualdad de Jensen para funciones convexas relaciona el valor que asigna a una integral con la integral de esa misma función permutando, por así decirlo, la función y la integral. Fue probada por el matemático danésJohan Jensen en 1906.[1] Dada su generalidad, la desigualdad aparece en múltiples contextos.
Una prueba gráfica de la desigualdad de Jensen.
Formulación
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En su formulación más simple, la desigualdad es la siguiente: una transformación convexa de la media es menor o igual en valor que la media de una transformación convexa. Sin embargo, su formulación formal más general se expresa en el contexto de la teoría de la medida:
fórmula en la que los paréntesis angulares representan la esperanza respecto a la distribución de probabilidad de la variable aleatoriaX.
Teoría de la información
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Si p(x) es la función de densidad correspondiente a una variable aleatoriaX y q(x) es otra función de densidad, entonces, aplicando la desigualdad (1) a la variable aleatoria Y(X) = q(X)/p(X) y la función φ(y) = −log(y) se obtiene
que es la llamada desigualdad de Gibbs y está relacionada con el hecho de que la longitud de los mensajes es mínima cuando se codifican en términos de la distribución verdadera y con el concepto de la divergencia de Kullback-Leibler.
↑Jensen, J. L. W. V. (1906). «Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes». Acta Mathematica30 (1): 175-193. doi:10.1007/BF02418571.
Bibliografía
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Walter Rudin (1979). Análisis real y complejo. Alhambra. ISBN84-205-0651-6.
N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone (1996). Analisi Matematica Due. Liguori. ISBN978-88-207-2675-1.