Sea ${\displaystyle V}$  un espacio vectorial complejo con producto escalar. Los vectores ${\displaystyle u,v\in V}$ , cumplen la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

${\displaystyle |(u,v)|^{2}\leq (u,u)(v,v)}$ 

Donde ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$  es el producto escalar.

Demostración

Tomemos la combinación de vectores ${\displaystyle \lambda u-\mu v}$ , con ${\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {C} }$ . El producto de este vector por sí mismo es siempre mayor o igual que cero, por las propiedades del producto escalar.

${\displaystyle (\lambda u-\mu v,\lambda u-\mu v)\geq 0}$ 

Aplicando la linealidad por la derecha del producto escalar, se puede desarrollar la expresión anterior.

${\displaystyle |\lambda |^{2}(u,u)-{\bar {\lambda }}\mu (u,v)-{\bar {\mu }}\lambda (v,u)+|\mu |^{2}(v,v)\geq 0}$ 

Esta desigualdad debe cumplirse para cualquier valor de los escalares ${\displaystyle \lambda }$  y ${\displaystyle \mu }$ . En particular, se cumple para ${\displaystyle \lambda =(u,v)}$ ,${\displaystyle \mu =(u,u)}$ . Sustituyendo estos valores en la desigualdad:

${\displaystyle |(u,v)|^{2}(u,u)-2|(u,v)|^{2}(u,u)+(u,u)^{2}(v,v)\geq 0}$ 

Y finalmente:

${\displaystyle (u,u)(v,v)\geq |(u,v)|^{2}}$ 

Q.E.D

La desigualdad se satura (se vuelve igualdad) si y solo si los vectores son linealmente dependientes entre sí.

Sean ${\displaystyle a_{1},...,a_{n}}$  y ${\displaystyle b_{1},...,b_{n}}$  números reales cualesquiera.

Una suma de cuadrados no puede ser nunca negativa. Por lo tanto tenemos lo siguiente:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{(a_{k}x+b_{k})^{2}}={\Bigl (}\sum _{k=1}^{n}{a_{k}^{2}}{\Bigr )}x^{2}+2{\Bigl (}\sum _{k=1}^{n}{a_{k}b_{k}}{\Bigr )}x+\sum _{k=1}^{n}{b_{k}^{2}}\geq 0}$ 

para todo número real ${\displaystyle x}$ ; y se cumple la igualdad si y sólo si cada término de la suma (${\displaystyle a_{k}x+b_{k}}$ , para todo k) es igual a cero.

Esta desigualdad puede escribirse en la forma:

${\displaystyle Ax^{2}+2Bx+C\geq 0}$ 

donde:

${\displaystyle A=\sum _{k=1}^{n}{a_{k}^{2}},\quad B=\sum _{k=1}^{n}{a_{k}b_{k}},\quad C=\sum _{k=1}^{n}{b_{k}^{2}}}$ 

La ecuación anterior determina un polinomio cuadrático que no podrá tener dos raíces reales porque siempre es mayor o igual que 0. Por lo tanto su discriminante debe ser menor o igual que cero:

${\displaystyle \Delta =(2B)^{2}-4AC=4(B^{2}-AC)\leq 0,}$ 

Por lo tanto:

${\displaystyle B^{2}\leq AC}$ , y esta es la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Utilizando notación vectorial, la desigualdad de Cauchy-Schwarz toma la forma: ${\displaystyle (a\cdot {}b)^{2}\leq \left\|{a}\right\|^{2}\left\|{b}\right\|^{2}}$ 

donde

${\displaystyle a=(a_{1},...,a_{n}),b=(b_{1},...,b_{n})}$  son dos vectores n-dimensionales, ${\displaystyle a\cdot {}b=\sum _{k=1}^{n}{a_{k}b_{k}}}$  es su producto escalar y ${\displaystyle \left\|{a}\right\|={\sqrt[{}]{(a\cdot {}a)}}}$  es la norma de a.

• La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se puede probar con un caso particular de la Desigualdad de Hölder, con p = q = 2.

• La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se puede probar con un caso particular de la Identidad de Lagrange, incluso para el caso de los números complejos.
• La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se usa para probar que el producto escalar es una función continua con respecto a la topología inducida por el mismo producto escalar.
• La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se usa para probar la desigualdad de Bessel.
• La formulación general del principio de incertidumbre de Heisenberg se deriva usando la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz sobre el producto escalar definido en el espacio de las funciones de onda físicas.

• Desigualdad de Minkowski
• Desigualdad de Hölder

• Hardy, G., Littlewood J.E., Polya, G. (1999). Inequalities, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8
• H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Chelsea, reprint (1953)
• M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Cauchy_Schwarz_inequality&oldid=28863», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .