El matemático lógico y filósofo alemán Frege publicó en el año 1879 su libro Begriffsschrift, en el cual colocó las bases de la lógica matemática moderna, desarrollando la primera teoría coherente sobre la cuantificación y presentó una nueva sintaxis llamada cuantificadores (${\displaystyle \forall }$  y ${\displaystyle \exists }$ ) que permite cuantificar nuevos argumentos. La obra se encuentra dividida en varios capítulos:

• Primer capítulo: está formado por las ideas básicas y notaciones, donde aparecen los cuantificadores universales, la negación y la condicional.
• Segundo capítulo: declaración de axiomas.

Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma:

• ${\displaystyle \forall \,x\in \mathbb {R} \;,\quad 2x\in \mathbb {R} }$ 

Para todo x que pertenece a R, se cumple que 2x pertenece a R.

• ${\displaystyle \forall \,a\in \mathbb {R} ,\quad \exists \,x\in \mathbb {R} \;:\quad a<x<(a+1)}$ 

Para todo a que pertenece a R, existe x que pertenece a R, que está comprendido entre a y a+1.

• ${\displaystyle \forall \,a\in \mathbb {R} -\left\{{0}\right\},\quad \exists !\,x\in \mathbb {R} \;:\quad a\cdot x=1}$ 

Para todo a que pertenece a R diferente de cero, existe un único x que pertenece a R, que cumple que a por x es igual a 1.

El cuantificador universal se utiliza para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con una determinada propiedad. Por ejemplo:

${\displaystyle \forall x\in A\;:\quad P(x)}$ 

Para todo x perteneciente a A, se cumple P(x).

Esta afirmación suele usarse como la equivalente de la proposición siguiente:

${\displaystyle A=\{x\in U\;:\quad P(x)\}}$ 

Se define el conjunto A, como el de los elementos x de U, que cumplen P(x).

El cuantificador existencial se usa para indicar que hay uno o más elementos en el conjunto ${\displaystyle ~A}$  (no necesariamente único/s) que cumplen una determinada propiedad. Como escribe:

${\displaystyle \exists \,x\in A\;:\quad P(x)}$ 

Existe x en A que cumple P(x).

Esta proposición suele interpretarse como la equivalente de la proposición siguiente:

${\displaystyle \{x\in A\;:\quad P(x)\}\neq \emptyset }$ 

El conjunto de los elementos x de A, que cumplen P(x) es distinto del conjunto vacío.

El cuantificador existencial con marca de unicidad se usa para indicar que hay un único elemento de un conjunto A que cumple una determinada propiedad. Se escribe:

${\displaystyle \exists !\,x\in A\;:\quad P(x)}$ 

Se lee:

Existe un único elemento x de A, que cumple P(x).

Se tienen las siguientes relaciones universales:

${\displaystyle \forall x\in A\ P(x)\qquad \longleftrightarrow \qquad \neg \exists x\in A\ \neg P(x)}$ 

Para todo x de A, se cumple P(x) si y sólo si no existe x en A que no cumpla P(x).

${\displaystyle \exists x\in A\ P(x)\qquad \longleftrightarrow \qquad \neg \forall x\in A\ \neg P(x)}$ 

Existe al menos un x en A que cumple P(x) si y sólo si no es cierto que para todo x de A, no se cumpla P(x).

El cuantificador existencial único puede definirse como extensión en un lenguaje formal de la siguiente manera:

${\displaystyle \exists !x\in A\ P(x)\ \equiv \ \exists x\in A\ P(x)\land \forall y,z\in A\ (P(y)\land P(z)\rightarrow y=z)}$ 

Afirmar que existe un único x en A que satisface P(x) es el equivalente a afirmar la existencia de algún x en A que satisface P(x), y además, para cada y y z en A, si se satisfacen P(y) y P(z) entonces y y z deben ser iguales.

Las leyes de De Morgan para cuantificadores son las siguientes:

• ${\displaystyle \neg \forall xP(x)\equiv \exists x\neg P(x)}$ 

La negación es falsa si para todo ${\displaystyle x}$  el predicado es verdadero. Por el contrario, es verdadera si existe un ${\displaystyle x}$  para el que ${\displaystyle P(x)}$  es falsa.

• ${\displaystyle \neg \exists xP(x)\equiv \forall x\neg P(x)}$ 

La negación es verdadera si para todo ${\displaystyle x}$  la función proposicional ${\displaystyle P}$  de ${\displaystyle x}$  es falsa y es falsa si existe un ${\displaystyle x}$  para el que ${\displaystyle P(x)}$  es verdadera.

El orden de prioridad (prelación) de los cuantificadores ${\displaystyle \forall }$  y ${\displaystyle \exists }$  tienen un mayor grado de preferencia que los demás operadores lógicos.

Ejemplos:

Cuando ponemos ${\displaystyle \forall xP(x)\land M(x)}$  el orden de prioridad nos obliga a realizar primero el cuantificador ${\displaystyle (\forall xP(x))\land M(x)}$ . Este ejemplo se puede ver para los distintos cuantificadores.

En caso de que se quiera priorizar el operador lógico (${\displaystyle \land }$ ) se tendrá que poner paréntesis para forzar la prioridad a esa operación ${\displaystyle \forall x(P(x)\land M(x)).}$ 

Un error muy común es considerar que ${\displaystyle \forall xP(x)\land M(x)}$  es lo mismo que ${\displaystyle \forall x(P(x)\land M(x))}$  cosa que no es así, ya que no se respeta el orden de prioridad, por lo que lo correcto sería ${\displaystyle (\forall xP(x))\land M(x)}$ .

• Primera regla:

Un cuantificador universal (${\displaystyle \forall }$ ) afirmativo se asemeja a la negación de un cuantificador existencial ( ${\displaystyle \neg \exists }$ ) y del predicado.

${\displaystyle (\forall xP(x))\leftrightarrow (\neg \exists x\neg P(x))}$ 

Para todos los ${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle P}$  es cierta, esto equivale a que es falso que alguna ${\displaystyle x}$  no sea ${\displaystyle P}$ .

• Segunda regla:

Un cuantificador existencial ( ${\displaystyle \exists }$ ) afirmativo se asemeja a la negación cuantificador universal (${\displaystyle \neg \forall }$ ) y del predicado.

${\displaystyle (\exists xP(x))\leftrightarrow (\neg \forall x\neg P(x))}$ 

Existe alguna ${\displaystyle x}$  en la que ${\displaystyle P}$  es cierta, esto es equivalente a decir que ninguna ${\displaystyle x}$  no es ${\displaystyle P}$ .

• Tercera regla:

La negación de un cuantificador universal (${\displaystyle \neg \forall }$ ) se asemeja a un cuantificador existencial ( ${\displaystyle \exists }$ ) con el predicado negado.

${\displaystyle (\neg \forall xP(x))\leftrightarrow (\exists x\neg P(x))}$ 

Es falso que todas las ${\displaystyle x}$  son ${\displaystyle P}$ , esto equivalente a que algunas ${\displaystyle x}$  no son ${\displaystyle P}$ .

• Cuarta regla:

La negación de un cuantificador existencial (${\displaystyle \neg \exists }$ ) se asemeja a un cuantificador universal ( ${\displaystyle \forall }$ ) con el predicado negado.

${\displaystyle (\neg \exists xP(x))\leftrightarrow (\forall x\neg P(x))}$ 

Es falso que algunas ${\displaystyle x}$  sean ${\displaystyle P}$ , equivale a todas las ${\displaystyle x}$  no son ${\displaystyle P}$ .

• Lógica formal
• Lógica de primer orden
• Lógica matemática
• Teoría de conjuntos

Lógica de cuantificadores

Begriffsschrift