Se dice que una sucesión ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$  de variables aleatorias reales converge en distribución, o converge en ley, o converge débilmente, a una variable aleatoria ${\displaystyle X}$  si

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=F(x),}$ 

para todo punto ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$  en el que ${\displaystyle F}$  es continua, donde ${\displaystyle F_{n}}$  y ${\displaystyle F}$  denotan las funciones de distribución acumulada de las variables aleatorias ${\displaystyle X_{n}}$  y ${\displaystyle X}$ , respectivamente.

La convergencia en distribución puede indicarse como:

donde ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {L}}_{X}}$  es la ley (distribución de probabilidad) de X. Por ejemplo, si X es una gausiana típica o normal estándar se puede escribir ${\displaystyle X_{n}\,{\xrightarrow {d}}\,{\mathcal {N}}(0,\,1)}$ .

Una sucesión ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$  de variables aleatorias reales converge en probabilidad a una variable aleatoria ${\displaystyle X}$  si para todo ${\displaystyle \epsilon >0}$ 

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr {\big (}|X_{n}-X|>\varepsilon {\big )}=0.}$ 

Suele indicarse de alguna de estas maneras:

Una sucesión ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$  de variables aleatorias reales converge casi seguramente, o con probabilidad 1, a una variable aleatoria ${\displaystyle X}$  si

${\displaystyle \operatorname {Pr} \!\left(\lim _{n\to \infty }\!X_{n}=X\right)=1.}$ 

Notación:

Dado un número real ${\displaystyle r\geq 1}$ , se dice que la sucesión ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$  de variables aleatorias reales converge en ${\displaystyle L^{r}}$  a la variable aleatoria ${\displaystyle X}$ , si los momentos absolutos ${\displaystyle r}$ -ésimos ${\displaystyle {\text{E}}(|X_{n}|^{r})}$  y ${\displaystyle {\text{E}}(|X|^{r})}$  de ${\displaystyle X_{n}}$  y de ${\displaystyle X}$  existen, y

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {E} \left(|X_{n}-X|^{r}\right)=0,}$ 

donde el operador ${\displaystyle E}$  denota la esperanza matemática.

Notación: