Formalmente, dada una relación matemática de pares de elementos de un conjunto ${\displaystyle X}$  :${\displaystyle \succcurlyeq ~\subseteq ~X^{2}}$  y un elemento ${\displaystyle x}$  de ${\displaystyle X}$ :

El conjunto contorno superior de ${\displaystyle x}$  es el conjunto de todos los ${\displaystyle y}$  que están relacionados con ${\displaystyle x}$ :

${\displaystyle \left\{y~/~y\succcurlyeq x\right\}}$ 

El conjunto contorno inferior de ${\displaystyle x}$  es el conjunto de todos los ${\displaystyle y}$  tal que ${\displaystyle x}$  está relacionado con ellos:

${\displaystyle \left\{y~/~x\succcurlyeq y\right\}}$ 

El conjunto contorno superior estricto de ${\displaystyle x}$  es el conjunto de todos los ${\displaystyle y}$  que están relacionados con ${\displaystyle x}$ , sin contar el mismo ${\displaystyle x}$ :

${\displaystyle \left\{y~/~(y\succcurlyeq x)\land \lnot (x\succcurlyeq y)\right\}}$ 

El conjunto contorno inferior estricto de ${\displaystyle x}$  es el conjunto de todos los ${\displaystyle y}$  tal que ${\displaystyle x}$  está relacionado con ellos, sin contar aquellos que están relacionados de este modo con el mismo ${\displaystyle x}$ :

${\displaystyle \left\{y~/~(x\succcurlyeq y)\land \lnot (y\succcurlyeq x)\right\}}$ 

La expresión formal de las dos últimas definiciones puede simplificarse si definimos la siguiente relación

${\displaystyle \succ ~=~\left\{\left(a,b\right)~/~\left(a\succcurlyeq b\right)\land \lnot (b\succcurlyeq a)\right\}}$ 

donde ${\displaystyle a}$  está relacionado con ${\displaystyle b}$  pero ${\displaystyle b}$  no está relacionado con ${\displaystyle a}$ , en cuyo caso el conjunto contorno superior estricto de ${\displaystyle x}$  es

${\displaystyle \left\{y~/~y\succ x\right\}}$ 

y el conjunto contorno inferior estricto de ${\displaystyle x}$  es

${\displaystyle \left\{y~/~x\succ y\right\}}$ 

En el caso de una función f considerada en términos de la relación ${\displaystyle \triangleright }$ , la referencia a los conjuntos contornos de la función es implícita a los conjuntos contornos de la relación implicada

${\displaystyle (a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\triangleright f(b)]}$ 

Dados un número real ${\displaystyle x}$  y la relación ${\displaystyle \geq }$ , entonces:

• El conjunto contorno superior de ${\displaystyle x}$  es el conjunto de números que son mayores o iguales a ${\displaystyle x}$ ,
• El conjunto contorno superior estricto de ${\displaystyle x}$  es el conjunto de números mayores que ${\displaystyle x}$ ,
• El conjunto contorno inferior de ${\displaystyle x}$  es el conjunto de números menores o iguales a ${\displaystyle x}$ , y
• El conjunto contorno inferior estricto de ${\displaystyle x}$  es el conjunto de números menores que ${\displaystyle x}$ .

Considerando la relación más general

${\displaystyle (a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\geq f(b)]}$ 

Entonces

• El conjunto contorno superior de ${\displaystyle x}$  es el conjunto de todos los ${\displaystyle y}$  tales que ${\displaystyle f(y)\geq f(x)}$ ,
• El conjunto contorno superior estricto de ${\displaystyle x}$  es el conjunto de todos los ${\displaystyle y}$  tales que ${\displaystyle f(y)>f(x)}$ ,
• El conjunto contorno inferior de ${\displaystyle x}$  es el conjunto de todos los ${\displaystyle y}$  tales que ${\displaystyle f(x)\geq f(y)}$ , y
• El conjunto contorno inferior estricto de ${\displaystyle x}$  es el conjunto de todos los ${\displaystyle y}$  tales que ${\displaystyle f(x)>f(y)}$ .

Técnicamente hablando también es posible definir conjuntos contornos en términos de la relación

${\displaystyle (a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\leq f(b)]}$ 

aunque tales definiciones tenderían a confundir la comprensión de ellos.

Para una función real f, la referencia a los conjuntos contornos de la función es implícita a los conjuntos contornos de la relación

${\displaystyle (a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\geq f(b)]}$ 

Note que los argumentos de f podrían ser vectores, y que la notación usada podría ser

${\displaystyle [(a_{1},a_{2},\ldots )\succcurlyeq (b_{1},b_{2},\ldots )]~\Leftarrow ~[f(a_{1},a_{2},\ldots )\geq f(b_{1},b_{2},\ldots )]}$ 

En economía, el conjunto ${\displaystyle X}$  puede interpretarse como un conjunto de bienes y servicios o de posibles salidas, la relación ${\displaystyle \succ }$  como preferencias estrictas, y la relación ${\displaystyle \succcurlyeq }$  como preferencias débiles. Así,

• El conjunto contorno superior de ${\displaystyle x}$  es el conjunto de todos los bienes, servicios o salidas por lo menos tan deseadas como ${\displaystyle x}$ ,
• El conjunto contorno superior estricto de ${\displaystyle x}$  es el conjunto de todos los bienes, servicios o salidas más deseadas que ${\displaystyle x}$ ,
• El conjunto contorno inferior de ${\displaystyle x}$  es el conjunto de todos los bienes, servicios o salidas no más deseadas que ${\displaystyle x}$ , y
• El conjunto contorno inferior estricto de ${\displaystyle x}$  es el conjunto de todos los bienes, servicios o salidas menos deseadas que ${\displaystyle x}$ .

Tales preferencias podrían representarse por una función utilidad u, en cuyo caso

• El conjunto contorno superior de ${\displaystyle x}$  es el conjunto de todos los ${\displaystyle y}$  tales que ${\displaystyle u(y)\geq u(x)}$ ,
• El conjunto contorno superior estricto de ${\displaystyle x}$  es el conjunto de todos los ${\displaystyle y}$  tales que ${\displaystyle u(y)>u(x)}$ ,
• El conjunto contorno inferior de ${\displaystyle x}$  es el conjunto de todos los ${\displaystyle y}$  tales que ${\displaystyle u(x)\geq u(y)}$ , y
• El conjunto contorno inferior estricto de ${\displaystyle x}$  es el conjunto de todos los ${\displaystyle y}$  tales que ${\displaystyle u(x)>u(y)}$ .

Si ${\displaystyle \succcurlyeq }$  es un ordenación total de ${\displaystyle X}$ , entonces el complemento del conjunto contorno superior es el conjunto contorno inferior estricto:

${\displaystyle X^{2}\backslash \left\{y~/~y\succcurlyeq x\right\}=\left\{y~/~x\succ y\right\}}$ 

${\displaystyle X^{2}\backslash \left\{y~/~x\succ y\right\}=\left\{y~/~y\succcurlyeq x\right\}}$ 

y el complemento del conjunto contorno superior estricto es el conjunto contorno inferior:

${\displaystyle X^{2}\backslash \left\{y~/~y\succ x\right\}=\left\{y~/~x\succcurlyeq y\right\}}$ 

${\displaystyle X^{2}\backslash \left\{y~/~x\succcurlyeq y\right\}=\left\{y~/~y\succ x\right\}}$ 

• Epigrafo
• Hipografo

• Andreu Mas-Colell, Michael D. Whinston, y Jerry R. Green; Microeconomic Theory (LCC HB172.M6247 1995), p43. ISBN 0-19-507340-1 (cloth) ISBN 0-19-510268-1 (paper)