Summary
La conjetura de Yamabe es un problema de geometría diferencial que se refiere a la existencia de métricas de Riemann con curvatura escalar constante , y toma su nombre del matemático Hidehiko Yamabe. A principios de 1960 Yamabe afirmó tener una solución, y murió a finales de ese mismo año. Pero Trudinger en 1968 descubrió un error crítico en la prueba. El trabajo combinado de Neil Trudinger, Thierry Aubin y Richard Schoen luego proporcionó una solución completa al problema en 1984.[1]
Enunciado
editarEl problema de Yamabe es el siguiente: dada una variedad suave y compacta M de dimensión n ≥ 3 con una métrica riemanniana g, ¿existe una métrica g' conforme a g para la cual la curvatura escalar de g' es constante? En otras palabras, ¿existe una función suave f en M para la cual la métrica g' = e2fg tiene una curvatura escalar constante?
Respuesta
editarAhora se sabe que la respuesta es sí, y se demostró usando técnicas de geometría diferencial, análisis funcional y ecuaciones diferenciales parciales.
El caso no compacto
editarUna pregunta estrechamente relacionada es el llamado "problema de Yamabe no compacto", que pregunta: ¿Es cierto que en cada variedad de Riemann completa (M,g) que no es compacta, existe una métrica que es conforme a g , tiene una curvatura escalar constante y también está completa? La respuesta es no, debido a contraejemplos dados por Jin (1988) .
Referencias
editar- ↑ http://www.math.mcgill.ca/gantumur/math580f12/Yamabe.pdf
Bibliografía
editar- Lee, John Marshall; Parker, Thomas H. (1987), «The Yamabe problem», Bulletin of the American Mathematical Society 17: 37-81, doi:10.1090/s0273-0979-1987-15514-5..
- Trudinger, Neil S. (1968), «Remarks concerning the conformal deformation of Riemannian structures on compact manifolds», Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) 22: 265-274, MR 0240748.
- Yamabe, Hidehiko (1960), «On a deformation of Riemannian structures on compact manifolds», Osaka Journal of Mathematics 12: 21-37, ISSN 0030-6126, MR 0125546.
- Schoen, Richard (1984), «Conformal deformation of a Riemannian metric to constant scalar curvature», J. Differential Geom. 20: 479-495..
- Aubin, Thierry (1976), «Équations différentielles non linéaires et problème de Yamabe concernant la courbure scalaire», J. Math. Pures Appl., (9) 55: 269-296..
- Jin, Zhiren (1988), «A counterexample to the Yamabe problem for complete noncompact manifolds», Lect. Notes Math. 1306: 93-101., doi:10.1007/BFb0082927.
Datos: Q3406245
