Mutin nació el 7 de abril de 1861 en Saint-Julien-sur-Suran, Jura, perdió a su padre antes de cumplir tres años, su madre lo llevó a él y a sus dos hermanas a París, luego de acontecida la Guerra franco-prusiana, donde fue aprendiz de Aristide Cavaillé-Coll desde 1875.^[2]​ Entró en la firma Cavaillé-Coll en donde Joseph Koenig, uno de los armonizadores de la firma, se hizo cargo de su formación.^[1]​ Posteriormente se casó con Eugénie Crespin, originaria de Falaise, y se instaló en Caen donde creó su primer taller de construcción de órganos. Así, el primer órgano en el que trabajó Charles Mutin fue el de la Abadía de los Hombres de Caen.^[1]​

Siguieron instrumentos para Lure (1889-1890), Santa Catalina, Honfleur (1890) San Julián, Caen (1894); Nuestra Señora, Orbec (1895); Nuestra Señora del Buen Socorro, Trouville (1895); y Santa Ana, Vire (1896), entre otros. Mutin era fiel seguidor del estilo de construcción de órganos de Cavaillé-Coll. Cuando Cavaillé-Coll a los 87 años ya no pudo continuar con el negocio, su apoyo ayudó a Mutin para adquirir la firma el 18 de junio de 1898,^[2]​ en ese momento la empresa se encontraba en una situación económica difícil.^[1]​ Tras sanear con éxito las cuentas de la compañía, construyó varios cientos de instrumentos antes de ceder la actividad a Auguste Convers el 19 de marzo de 1924.^[2]​

La presentación del órgano en la Exposición Universal de 1900 fue su primer éxito, el instrumento en la actualidad se encuentra en la Gran Sala del Conservatorio Tchaikovsky de Moscú. El proyecto fue iniciado por Aristide Cavaillé-Coll, pero fue Mutin quien aseguró su finalización e instalación.^[1]​

Aunque ocasionalmente utilizaba mecanismos neumáticos o eléctricos, seguía siendo partidario de los mecanismos mecánicos con levas Barker. Mutin no tuvo la misma orientación comercial que su antecesor, aunque había saneado positivamente a la firma, a menudo dependiendo del presupuesto empleado, ciertos aspectos en función de ello podía variar en el resultado final del instrumento, en particular su fineza tonal, esto provocó apreciaciones negativas, y trajo alteraciones en los órganos por parte de las generaciones posteriores.^[2]​

Entre los órganos más importantes construidos bajo su mandato de la firma Cavaillé-Coll se incluyen un órgano en la casa de Alexandre Guilmant en Meudon (1899), el instrumento del Conservatorio de Moscú (1900, 50 registros), la sala de conciertos de la Schola Cantorum de París (1902) y el de St. Pierre, Douai en 1922, construido originalmente entre 1910 y 1914 y destinado al Conservatorio de San Petersburgo, pero su entrega se detuvo con el estallido de la Primera Guerra Mundial y la Revolución rusa. Mutin también trasladó el gran órgano Cavaillé-Coll del Barón de l'Espée en Biarritz (1898) a la Basílica del Sagrado Corazón de París (1919).^[2]​

Mutin vendió la fábrica de Cavaillé-Coll en 1924 a Auguste Convers, al año siguiente de la entrega del gran órgano de la iglesia de Saint-Martin, que fue una de sus últimas realizaciones.^[1]​