Almaraz nació el 5 de octubre de 1941 en la Ciudad de México, México, de sus padres Roe y Rudolph Almaraz.^[4]​^[5]​ Su familia se mudó cuando era niño y se estableció en Chicago, Illinois, donde su padre fue dueño de un restaurante durante cinco años y trabajó en las acerías de Gary durante cuatro más. El barrio donde se criaron Almaraz y sus hermanos Rudolph Jr. y Ricky era multicultural, lo que le llevó a apreciar el crisol de culturas estadounidense.^[6]​ Durante su juventud en Chicago, la familia viajó con frecuencia a la Ciudad de México, donde Almaraz afirma haber tenido su primera impresión del arte, que fue a la vez aterradora y absolutamente mágica; en otras palabras, "sublime".

Cuando Almaraz tenía nueve años, su familia se mudó a Los Ángeles^[7]​ por recomendación médica de su padre, quien debía buscar un clima cálido para aliviar su reumatismo, y también por problemas familiares. Primero se establecieron en Wilmington y luego en la entonces rural Chatsworth, donde vivieron en viviendas comunales con otros mexicanos.^[6]​ La familia se mudó después a Beverly Hills y, posteriormente, al barrio del Este de Los Ángeles. El interés de Almaraz por las artes, que nació en Chicago, floreció después de que su familia se mudara a California, y la sensación de movilidad que desarrolló después de tantas mudanzas le permitió conectar con los trabajadores agrícolas migrantes y sus hijos.

Se graduó de la Escuela Preparatoria Garfield en 1959^[8]​ y asistió al Los Angeles City College, donde estudió con David Ramírez, y cursó clases de verano en la Universidad Loyola Marymount. Loyola le ofreció una beca completa, pero la rechazó en protesta por el apoyo de la universidad a la guerra de Vietnam y abandonó por completo la fe católica. Asistió a la Universidad Estatal de California en Los Ángeles (CalState LA), donde entabló amistad con Frank Romero.^[9]​

La estructura del departamento de arte de CalState LA lo desanimó. Almaraz comenzó a asistir a cursos nocturnos en el Otis College of Art and Design (entonces conocido como Otis Art Institute), con Joe Mugnaini como maestro.^[6]​ En 1974, obtuvo un máster en Bellas Artes del Otis College of Art and Design.^[2]​^[10]​

Almaraz estudió artes en la Universidad de California en Los Ángeles (UCLA).