Antonio nació en Badajoz (1942). Su padre, Antonio Masa Campos, fue alcalde de Badajoz (1944-1954). Tuvo cuatro hermanos: Vicenta, Leonor, José y Leopoldo Mesa Godoy. Se licenció en Ciencias Políticas y Ciencias Económicas y Empresariales en la Universidad Complutense de Madrid. Casado con Amalia Gragera Navarrete, el matrimonio tuvo dos hijos; Antonio y María Masa Gragera.^[3]​

Desarrolló una amplia labor fundamentalmente en cuatro ámbitos: docente, administración pública, empresa y política. En el ámbito docente, fue catedrático de Teoría Económica en la Universidad de Extremadura. En el ámbito de la Administración pública, fue técnico del Ministerio de Economía y Hacienda; presidente del Instituto Nacional de Previsión Social (INP) en Badajoz (1969-1975); secretario del Consejo Económico Interprovincial de Extremadura y Huelva. En el ámbito empresarial, impulsó diversas empresas en sectores como el vitivinícola, el automovilístico, el financiero, el agrícola y el ganadero. Fue fundador y presidente de la Caja Rural de Badajoz (1972-1984); de la Confederación Empresarial de Badajoz (Coeba) y su equivalente regional, la Confederación Regional Empresarial Extremeña (Creex); miembro del Sindicato de Economistas;^[4]​ y consejero de Iberia.^[5]​

Y finalmente, en el ámbito político fue uno de los fundadores de la Unión Democrática Española (UDE), de la que fue vicepresidente hasta su fusión con el Partido Popular Demócrata Cristiano, dando origen al Partido Demócrata Cristiano, con el que se integró en la Unión de Centro Democrático (UCD). Se alejó de la política tras las elecciones generales de 1979, pero regresó a ella a través de su actividad en organizaciones empresariales: fue vicepresidente y presidente de la Confederación Regional de Empresarios de Extremadura (CREEX), presidente de la Unión de Empresarios Agrarios, vicepresidente durante la candidatura de Manuel Otero Luna y presidente, sustituyéndolo en la Confederación Española de la Pequeña y Mediana Empresa (CEPYME), así como vicepresidente de la Confederación Española de Organizaciones Empresariales - CEOE (1998).^[4]​ En las elecciones de junio de 1977, fue elegido diputado por Badajoz durante la Legislatura Constituyente, formando parte de los políticos que realizaron la Transición española a la democracia.^[5]​

Antonio falleció en Badajoz, el sábado 30 de agosto de 2025, a los 83 años. Tras su funeral en la parroquia de san José (Badajoz) fue enterrado en el cementerio de la Soledad.^[6]​