Estrictamente,un anillo ordenado es un anillo conmutativo ${\displaystyle R}$  con un orden total ${\displaystyle \leq }$  tal que

• si ${\displaystyle a\leq b}$  y ${\displaystyle c\in R}$ , entonces ${\displaystyle a+c\leq b+c}$ 

• si ${\displaystyle 0\leq a}$  y ${\displaystyle 0\leq b}$ , entonces ${\displaystyle 0\leq ab}$ 

Análogamente con los números ordinarios, decimos que un elemento c de un anillo ordenado es positivo si ${\displaystyle 0\leq c,c\neq 0}$  y negativo si ${\displaystyle c\leq 0,c\neq 0}$ . El conjunto de los elementos positivos en un anillo ${\displaystyle R}$  suele ser denotado por ${\displaystyle R_{+}}$ .

Si ${\displaystyle a}$  es un elemento de un anillo ordenado ${\displaystyle R}$ , entonces el valor absoluto de ${\displaystyle a}$ , denotado por ${\displaystyle |a|}$ , se define de la siguiente forma:

${\displaystyle |a|:={\begin{cases}a,&{\mbox{si }}0\leq a\\-a,&{\mbox{en otro caso}}\end{cases}}}$ 

donde ${\displaystyle -a}$  es el opuesto de ${\displaystyle a}$  y ${\displaystyle 0}$  es el elemento neutro.

• Si ${\displaystyle a\leq b}$  y ${\displaystyle 0\leq c}$ , entonces ${\displaystyle ac\leq bc.}$  Esta propiedad, a veces, se utiliza para definir anillos ordenados en lugar de la segunda propiedad en la definición de más arriba.
• Si ${\displaystyle a,b\in R}$ , entonces ${\displaystyle |ab|=|a||b|.}$ 
• Un anillo ordenado no trivial es infinito.
• Si ${\displaystyle a\in R}$ , entonces o ${\displaystyle a\in R_{+}}$ , o ${\displaystyle -a\in R_{+}}$ , o ${\displaystyle a=0\,.}$  Esta propiedad se deriva del hecho que los anillos ordenados son abelianos, con orden total respecto la suma.
• Un anillo ordenado ${\displaystyle R}$  no tiene divisores de cero si y solo si ${\displaystyle R_{+}}$  es cerrado respecto el producto, es decir, ${\displaystyle ab}$  es positivo si ambos ${\displaystyle a}$  y ${\displaystyle b}$  son positivos.

• Los números enteros ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , racionales ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  y reales ${\displaystyle \mathbb {R} }$  son todos ellos anillos ordendos, los dos últimos además cuerpos ordenados.
• Sin embargo, los números complejos ${\displaystyle \mathbb {C} }$  no forman un anillo ordenado, por lo que se puede clasificar a los números complejos diferentes de cero en positivos o negativos.

• Ordered ring en PlanetMath.