Anillo_de_Boole Knowpia

En álgebra abstracta, en particular en teoría de anillos, un anillo de Boole es aquel anillo R en donde $a^{2}=a$ para todo elemento de R.

Expresado de otra forma, es un anillo en el que todos los términos son idempotentes.

Propiedad conmutativa

Los anillos buleanos necesariamente son anillos conmutativos.

Un error común para demostrar esta propiedad es establecer la igualdad abab = aabb y posteriormente "cancelar" a y b por ambos lados. Esto es incorrecto ya que a diferencia de un campo, los elementos de un anillo no tienen necesariamente inversos multiplicativos y por tanto no es posible hacer cancelaciones.

A continuación se presenta una prueba correcta de la conmutatividad.

Conmutatividad de los anillos de Boole
Sean a y b dos elementos arbitrarios del anillo booleano R. Primero observamos que necesariamente todo elemento es su propio inverso aditivo: $(a+a)=(a+a)^{2}=(a+a)(a+a)=a^{2}+a^{2}+a^{2}+a^{2}=a+a+a+a$ de donde una cancelación muestra que $0=a+a$ y por tanto $a=-a$ . Dado que $(a+b)=(a+b)^{2}$ , desarrollando el producto del lado derecho obtenemos: $a+b=a^{2}+ab+ba+b^{2}=a+ab+ba+b$ de donde se obtiene que $0=ab+ba$ y por tanto $ab=-ba$ , de donde ya es inmediato que $ab=ba$ , estableciéndose así la conmutatividad del anillo.

Equivalencia entre anillos y álgebras de Boole

Todo anillo booleano $(R,+,\cdot )$ con elemento unitario 1 satisface los axiomas de un álgebra booleana $(R,\wedge ,\vee ,\neg )$ si se define la disyunción como: