Primero observamos que necesariamente todo elemento es su propio inverso aditivo:

${\displaystyle (a+a)=(a+a)^{2}=(a+a)(a+a)=a^{2}+a^{2}+a^{2}+a^{2}=a+a+a+a}$ 

de donde una cancelación muestra que ${\displaystyle 0=a+a}$  y por tanto ${\displaystyle a=-a}$ .

Dado que ${\displaystyle (a+b)=(a+b)^{2}}$ , desarrollando el producto del lado derecho obtenemos:

${\displaystyle a+b=a^{2}+ab+ba+b^{2}=a+ab+ba+b}$ 

de donde se obtiene que ${\displaystyle 0=ab+ba}$  y por tanto ${\displaystyle ab=-ba}$ , de donde ya es inmediato que ${\displaystyle ab=ba}$ , estableciéndose así la conmutatividad del anillo.