Koch nació en Grosse Pointe Park, Míchigan. Es hijo de Joseph y Joya Koch, tiene dos hermanas mayores: Ashleigh y Michelle. Su padre fue un fiscal adjunto en el condado de Wayne que llevó a algunos de los criminales más notorios de Detroit a los tribunales, que murió en 2001. "Fue como mi primera introducción a la actuación porque me gustaba ir a la corte con él y verlo trabajar. Cuando estaba presentando casos era casi como si estuviera haciendo monólogos", recuerda Koch sobre su padre.^[2]​

Alexander se graduó de la Escuela Secundaria Grosse Pointe South en 2006,^[3]​ durante este tiempo estuvo muy involucrado tanto en producciones de teatro de la comunidad local como de la escuela secundaria.^[1]​

Asistió a la Escuela de Teatro de la Universidad DePaul y se sumergió en producciones como A Lie of the Mind, Hair, Intimate Apparel, Normal, Assassins y Reefer Madness: The Musical.^[4]​ En 2012 obtuvo el título de Bachelor of Arts en actuación.^[1]​ Hizo su debut en el cine como Frank en el corto independiente de Eddie O'Keefe, The Ghosts. Le gusta trabajar con música e imágenes cuando actúa y admite usar canciones para darle más énfasis a sus personajes. "Simplemente hace que el diálogo sea mucho más fuerte si se tiene una imagen distinta en tu mente", dice.^[5]​ Le gusta escribir, tocar la guitarra, escuchar música y la coleccionar discos de vinilo.^[1]​

El 22 de enero de 2013, se anunció que Koch fue contratado para interpretar a «Junior» Rennie en la serie de la CBS, Under the Dome, adaptación de la novela del mismo nombre escrita por Stephen King.^[6]​^[7]​^[8]​